Kurs:Analysis 3/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 7 7 0 0 4 0 4 0 0 6 0 4 6 6 50



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Hausdorff-Raum .
  2. Ein Prämaß auf einem Präring auf einer Menge .
  3. Die Produkt--Algebra zu Messräumen .
  4. Der Kotangentialraum in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  6. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
  2. Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
  3. Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Maßraum und seien , , messbare Teilmengen mit . Für eine Teilmenge sei

Beweise die Formel


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und zwei endliche Maßräume und es seien

und

integrierbare Funktionen. Zeige


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf an, das nur eine Nullstelle besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die zurückgezogene Differentialform zu

unter der Abbildung


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jede stetige - Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.


Aufgabe * (6 (1+1+3+1) Punkte)

Begründe, dass der keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge der Rand ist.

a) , wobei das Intervall auf der -Achse liegt.

b) , wobei das Intervall auf der -Achse liegt.

c) , wobei die -Achse sei.

d) .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.