Kurs:Analysis 3/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	7	7	0	0	4	0	4	0	0	6	0	4	6	6	50

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Hausdorff-Raum ${}X$.
2. Ein Prämaß ${}\mu$ auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Die Produkt-${}\sigma$-Algebra zu Messräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$.
4. Der Kotangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
6. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
2. Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
3. Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und seien ${}T_{i}\subseteq M$, ${}i=1,\ldots ,n$, messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{i})<\infty$. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei

${}T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.$

Beweise die Formel

${}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume und es seien

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

und

$g\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

integrierbare Funktionen. Zeige

${}\int _{M\times N}(f+g)d\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)+\mu (M)\cdot \int _{N}g(y)d\nu (y)\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf ${}S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\tau$ zu

${}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$

unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jede stetige ${}n$- Differentialform ${}\omega$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ exakt ist.

Aufgabe * (6 (1+1+3+1) Punkte)

Begründe, dass der ${}\mathbb {R} ^{2}$ keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge ${}T$ der Rand ist.

a) ${}T={]0,1[}$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

b) ${}T=[0,1]$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

c) ${}T=\mathbb {R}$, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}x$-Achse sei.

d) ${}T=S^{1}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.