Kurs:Analysis 3/19/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	4	4	4	2	4	11	11	3	3	5	3	10	64

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.$

a) Bestimme zu jedem Punkt ${}(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.$

b) Zeige, dass das (von ${}(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt ${}(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Ist die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto (\vert {x}\vert ,y),$

differenzierbar?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe * (10 (2+6+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die ${}2$- Differentialform

${}\omega =xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\,$

auf der Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$.

a) Zeige, dass ${}d\omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass ${}\omega {|}_{S^{2}}$ die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.