Kurs:Analysis 3/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	4	4	4	2	4	11	11	3	3	5	3	10	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge ${}M$.
2. Eine Schrumpfung für eine Teilmenge ${}T\subseteq M$.
3. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.

4. Ein Hausdorff-Raum ${}X$.
5. Eine differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

6. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
7. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
2. Der Satz von Fubini für eine integrierbare Funktion

   $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   auf ${}\sigma$- endlichen Maßräumen

   ${}M$ und ${}N$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
4. Der Brouwersche Fixpunktsatz.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.$

a) Bestimme zu jedem Punkt ${}(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.$

b) Zeige, dass das (von ${}(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt ${}(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto (\vert {x}\vert ,y),$

differenzierbar?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe * (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die ${}2$- Differentialform

${}\omega =xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\,$

auf der Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$.

a) Zeige, dass ${}d\omega$ das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass ${}\omega {|}_{S^{2}}$ die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.