Kurs:Analysis 3/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 4 4 4 2 4 11 11 3 3 5 3 10 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
  2. Eine Schrumpfung für eine Teilmenge .
  3. Die Fortsetzung eines äußeren Maßes

    auf einem Präring auf einer Menge .

  4. Ein Hausdorff-Raum .
  5. Eine differenzierbare Abbildung

    zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  6. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  7. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit .
  8. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    auf einem -endlichen Maßraum .
  2. Der Satz von Fubini für eine integrierbare Funktion

    auf -endlichen Maßräumen

    und .
  3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion .
  4. Der Brouwersche Fixpunktsatz.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

auf einem -endlichen Maßraum .


Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.


Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe * (3 Punkte)

Ist die Abbildung

differenzierbar?


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

an derart, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punkt surjektiv ist.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

die durch

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .


Aufgabe * (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die -Differentialform

auf der Einheitskugel .

a) Zeige, dass das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.