Kurs:Analysis 3/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	3	0	5	0	0	4	4	15	5	3	0	45

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$.
2. Die Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine integrierbare Funktion auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$.
4. Eine topologische Karte auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Ein euklidischer Halbraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Fakt ***** sind erfüllt, welche nicht?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Ellipse

${}E={\left\{(u,v)\mid 2u^{2}+5v^{2}=4\right\}}\,.$

1. Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung ${}\mathbb {R} \rightarrow E$.
2. Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre ${}S^{1}$ und ${}E$.

Aufgabe * (15 (3+3+4+5) Punkte)

Es sei ${}T=S^{1}\times S^{1}$ der Torus und ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre.

a) Zeige, dass durch

$\varphi \colon S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},\,{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}$

eine stetige Abbildung gegeben ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

d) Erläutere die Abbildung ${}\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen ${}S^{1}$ besteht.

Aufgabe (0 Punkte)