Kurs:Analysis 3/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	9	3	1	0	0	0	6	8	3	0	0	0	36

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Messraum.
2. Die ${}\sigma$-Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Das Produktmaß ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
5. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
6. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fortsetzungssatz für Maße.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe

$B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke ${}[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)$

(mit $a\leq b$ und $c\leq d$) überdecken lässt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Zeige

${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},$

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$, also

${}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,$

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),$

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$.

b) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension ${}n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf ${}M$ und ${}\omega$ eine ${}k$- Form auf ${}M$. Zeige

${}\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)