Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Quasikohärente Moduln auf projektiven Schemata}
Graduierte Moduln zu einem graduierten Ring $R$ führen zu quasiprojektiven Moduln auf $\operatorname{Proj} { \left( R \right) }$.
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Graduierter Modul/Affin/Graduierung auf homogenen Mengen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt der zugehörige
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$\widetilde { M }$ auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} die Eigenschaft, dass für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{D( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {homogenen Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ der
$\Gamma (U, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{\Gamma { \left( U, \widetilde { M } \right) }}{} eine $\Z$-Graduierung besitzt, die mit den
\definitionsverweis {Restriktionsabbildungen}{}{}
verträglich ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage bedeutet zunächst für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass die Strukturgarbe auf den offenen Mengen zu homogenen Idealen eine Graduierung besitzt. Dies ist für die $D(f)$ zu homogenem $f$ klar und folgt daraus für beliebige $D( {\mathfrak a} )$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak a}$. Ebenso ergibt sich der Modulfall.
Es ergibt keinen Sinn, zu sagen, dass $\widetilde { M }$ als Ganzes graduiert ist, da dies auf beliebigen offenen Mengen, die nicht von einem homogenen Ideal herrühren, nicht definiert ist. Allerdings erlaubt es die Graduierung auf den homogenen Teilmengen, auf dem zu $R$ gehörenden projektiven Spektrum eine Modulgarbe zu definieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
zu $R$. Die
\definitionswortpraemath {{\mathcal O}_{ Y }}{ Modulgarbe }{}
$\widehat{ M }$ zu $M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{D_+( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {homogenen Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( V, \widehat{ M } \right) }
}
{ \defeq} { \Gamma { \left( D( {\mathfrak a} ), \widetilde { M } \right) }_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${\mathcal O}_{ Y }$-Modulstruktur.
}
Für einen graduierten $R$-Modul $M$ und ein homogenes Primideal ${\mathfrak p}$ setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_{({\mathfrak p}) }
}
{ = }{ { \left( M_{h \text{ homogen}, h \notin {\mathfrak p} } \right) }_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
zu $R$ und $\widehat{ M }$ der zugehörige
${\mathcal O}_{ Y }$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$\widehat{ M }$ ist ein
\definitionsverweis {quasikohärenter Modul}{}{.}
}{Zu einem homogenen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(f), \widehat{ M } \right) }
}
{ =} { { \left( M_f \right) }_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist $\widehat{ M }$ eingeschränkt auf $D_+(f)$ gleich der affinen Vergarbung von ${ \left( M_f \right) }_0$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(f)
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_f \right) }_0 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem
\definitionsverweis {homogenen Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_+
}
{ \not\subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widehat{ M }_{\mathfrak p}
}
{ =} { M_{ ( {\mathfrak p} )}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( Y, \widehat{ M } \right) }
}
{ =} { { \left( \Gamma { \left( D(R_+), \widetilde { M } \right) } \right) }_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Die Garbeneigenschaft ergibt sich aus der Garbeneigenschaft von $\widetilde { M }$. Für die Quasikohärenz siehe Teil (2).
}{Für homogenes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(f), \widehat{ M } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( D (f), \widetilde { M } \right) }_0
}
{ =} { (M_f)_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 14.5.
Somit stimmt die Garbe
\mathl{\widehat{ M } {{|}}_{D_+(f)}}{} global auf $D_+(f)$ mit der Garbe
\mathl{\widetilde { (M_f)_0 }}{} überein. Für die offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(g)
}
{ \subseteq }{ D(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten die entsprechenden Gleichheiten, und diese Identifizierungen sind mit den Restriktionen verträglich. Daher stimmen die Garben überhaupt überein und es liegt Quasikohärenz vor.
}{Folgt aus (2) über
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \widehat{ M }_{\mathfrak p}
}
{ =} { \operatorname{colim}_{ {\mathfrak p} \in D_+(f) }\, \Gamma { \left( D_+(f), \widehat{ M } \right) }
}
{ =} { \operatorname{colim}_{ {\mathfrak p} \in D_+(f) }\, { \left( M_f \right) }_0
}
{ =} { { \left( \operatorname{colim}_{ {\mathfrak p} \in D_+(f) }\, { \left( M_f \right) } \right) }_0
}
{ =} { { \left( M_{ R \setminus {\mathfrak p} \cap H } \right) }_0
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M_{( {\mathfrak p} )}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Definition.
}
Die letzte Aussage bedeutet, dass im Allgemeinen der globale Schnittmodul von $\widehat{ M }$ auf $Y$ nicht unmittelbar aus $M$ berechnet werden kann.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $R(n)$ der um $n$
\definitionsverweis {verschobene graduierte Ring}{}{.}
Dann bezeichnet man mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ Y } (n)
}
{ \defeq} { \widehat{ R(n) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
${\mathcal O}_{ Y }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man spricht von den
\definitionswort {getwisteten Strukturgarben}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zum Polynomring
\mathbed {K[X_0, X_1 , \ldots , X_d ]} {}
{d \geq 1} {}
{} {} {} {,}
mit der Standardgraduierung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{d}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{K} } (\ell ) \right) }
}
{ =} {K[X_0, X_1 , \ldots , X_d ]_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also die Polynome vom Grad $\ell$ in $d+1$ Variablen. Für negatives $\ell$ ist dies der Nullraum, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die Strukturgarbe} {} {}
ist dies gleich $K$, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen
\mathl{D_+(X_i)}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(X_i) , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{K} } (\ell ) \right) }
}
{ =} { { \left( K[X_0, X_1 , \ldots , X_d ]_{X_i} \right) }_\ell
}
{ =} { K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } } ] \cdot X_i^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Für den projektiven Raum haben wir schon in Beispiel 13.19 gesehen, dass diese Garben invertierbar sind. Dies gilt auch allgemein.
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Invertierbar/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {getwisteten Strukturgarben}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ Y } (n)}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ R_0 [x_1 , \ldots , x_d ]
}
{ = }{ R_0[X_1 , \ldots , X_d]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $x_i$ vom Grad $1$. Dann erzeugen die $x_i$ auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^d D_+(x_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Es sei $x$ eines der $x_i$. Nach
Lemma 15.3 (2)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ Y } (n) {{|}}_{D_+(x)}
}
{ =} { { \mathcal L }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${ \mathcal L }$ die affine Vergarbung des
${ \left( R_x \right) }_0$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ ( R_{x} (n) )_0
}
{ = }{ ( R_{x} )_n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(x)
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_x \right) }_0 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichne. In dieser Situation ist aber
\maabbeledisp {} { { \left( R_x \right) }_0} { { \left( R_x \right) }_n
} {h} { hx^n
} {,}
ein
${ \left( R_x \right) }_0$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{,}
und daher liegt ein
${\mathcal O}_{ Y } {{|}}_{D_+(x)}$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {{\mathcal O}_{ Y } {{|}}_{D_+(x)} } { {\mathcal O}_{ Y } (n) {{|}}_{D_+(x)}
} {}
vor.
Die getwisteten Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ Y } (n)$ sind für das projektive Schema
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
charakteristische, allerdings vom graduierten Ring $R$ abhängige invertierbare Garben.
\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Modul/Verschiebung/Twist/Tensorierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
sei $M$ ein
\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche
${\mathcal O}_{ Y }$-\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\maabbdisp {} { \widehat{ M } \otimes_{ {\mathcal O}_{ Y } } {\mathcal O}_{ Y } (n) } { \widehat{ M(n) }
} {}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $M(n)$ den um $n$
\definitionsverweis {verschobenen Modul}{}{}
zu $M$ bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu einem homogenen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
$(R_f)_0$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { (M_f)_0 \otimes_{ (R_f)_0 } (R_f)_n } { (M_f)_n
} {{ \frac{ m }{ f^k } } \otimes { \frac{ r }{ f^\ell } } } { { \frac{ rm }{ f^{k+\ell } }}
} {,}
der unmittelbar von der
\zusatzklammer {homogenen} {} {} Modulmultiplikation
\maabb {} { M \times R} { M
} {}
herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{colim}_{ U \subseteq D_+(f) }\, { \left( (M_f)_0 \otimes_{ (R_f)_0 } (R_f)_n \right) } } { \operatorname{colim}_{ U \subseteq D_+(f) }\, (M_f)_n
} {,}
der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (M(n)_f)_0
}
{ = }{ (M_f)_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich
\mathl{\widehat{ M(n) }}{.} Die Vergarbung der linken Seite
\zusatzklammer {in zwei Schritten} {} {}
ist
\mathl{\widehat{ M } \otimes_{ {\mathcal O}_{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) } } } {\mathcal O}_{ Y } (n)}{,} sodass ein Homomorphismus von Moduln
\maabbdisp {} { \widehat{ M } \otimes_{ {\mathcal O}_{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) } } } {\mathcal O}_{ Y } (n) } { \widehat{ M(n) }
} {,}
vorliegt.
Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn $f$ homogen ist, so ist der obige
$(R_f)_0$-Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { (M_f)_0 \otimes_{ (R_f)_0 } (R_f)_n } { (M_f)_n
} {}
nach
Lemma 14.10
und
Lemma 15.3 (2)
gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn $f$ den Grad $1$ besitzt
\zusatzklammer {und die zugehörigen offenen Mengen $D_+(f)$ überdecken $Y$} {} {,}
so liegt ein Isomorphismus vor. Nach
Aufgabe 12.2
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(R_f)_0
}
{ \cong }{ (R_f)_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {über
\mathl{1 \mapsto f^n}{}} {} {}
sodass links ein zu $(M_f)_0$ isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch
\mathl{{ \frac{ m }{ f^k } } \mapsto f^n \cdot { \frac{ m }{ f^k } }}{} gegeben, und diese ist bijektiv, da $f$ eine Einheit ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter}{}{}
\definitionsverweis {Ring}{}{,}
es sei ${ \mathcal F }$ ein
\definitionsverweis {quasikohärenter Modul}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } (n)
}
{ \defeq} { { \mathcal F } \otimes_{ {\mathcal O}_{ Y } } {\mathcal O}_{ Y } (n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den $n$-ten
\definitionswort {Twist}{}
von ${ \mathcal F }$.
}
Die Modulgarbe
\mathl{\widehat{ M (n) }}{} stimmt also mit dem $n$-ten Twist von
\mathl{\widehat{ M }}{} überein.
\zwischenueberschrift{Globale Erzeugtheit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und es sei ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis { Modul}{}{}
auf $X$. Man sagt, dass ${ \mathcal M }$
\definitionswort {von globalen Schnitten erzeugt}{}
wird, wenn es eine Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
derart gibt, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
${ \mathcal M }_x$ als
${\mathcal O}_{ X,x }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
von den
\zusatzklammer {Einschränkungen der} {} {}
$s_i$
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{Schema/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Schema}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ X }$ wird
\definitionsverweis {von globalen Schnitten erzeugt}{}{.}
}{Ein
\definitionsverweis {quasikohärenter Modul}{}{}
${ \mathcal M }$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabb {} { {\mathcal O}_{ X }^{(I)} } { { \mathcal M }
} {}
gibt.
}{Auf einem
\definitionsverweis {affinen Schema}{}{}
wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
}{Wenn ${ \mathcal M }$ von globalen Schnitten erzeugt wird und
\maabb {} { { \mathcal M }} {{ \mathcal N }
} {}
surjektiv ist, so wird auch ${ \mathcal N }$ von globalen Schnitten erzeugt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.17. }
{Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf dem
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
${\mathbb P}^{d}_{R}$ über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {werden die
\definitionsverweis {getwisteten Strukturgarben}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (k)}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {von globalen Schnitten erzeugt}{}{}
werden und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 15.18. }
\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/Noethersch/Kohärente Garbe/Twist/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathbb P}^{d}_{R}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
$R$ und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {kohärente Garbe}{}{}
auf ${\mathbb P}^{d}_{R}$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{{ \mathcal G } (\ell)}{}
\definitionsverweis {von globalen Schnitten erzeugt}{}{}
wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } {{|}} D_+ (X_i)
}
{ \cong }{ \widetilde{M}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem endlich erzeugten Modul $M_i$ über dem zu
\mathl{D_+ (X_i)}{} gehörenden Polynomring $R_i$. Für die invertierbare Garbe
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (1)}{} ist der
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsort}{}{}
zum globalen Schnitt $X_i$ nach
Aufgabe 13.21
gleich $D_+(X_i)$. Für ein endliches
$R_i$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{}
\mathbed {s_{ij}} {}
{j \in J_i} {}
{} {} {} {,}
von $M_i$ gibt es nach
Satz 14.13 (2)
einen
\zusatzklammer {gemeinsamen} {} {}
Exponenten $n$ derart, dass die
\mathl{X_i^n s_{ij}}{} von globalen Elementen aus
\mathl{\Gamma { \left( {\mathbb P}^{d}_{R} , { \mathcal G } (n) \right) }}{} herrühren. Dies kann man für jedes $i$ machen und erhält somit ein $\ell$ derart, dass die globalen Schnitte aus
\mathl{\Gamma { \left( {\mathbb P}^{d}_{R} , { \mathcal G } (\ell ) \right) }}{} die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.
\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Surjektion mit direkter Summe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${\mathbb P}^{d}_{R}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
$R$ und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {kohärente Garbe}{}{}
auf ${\mathbb P}^{d}_{R}$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine endliche direkte Summe
\mathl{\bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } ( \ell_j)}{} und einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \bigoplus_{j \in J} {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } ( \ell_j) } { { \mathcal G }
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 15.12
gibt es ein $\ell$ derart, dass
\mathl{{ \mathcal G } (\ell)}{} von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach
Proposition 15.10 (2)
liegt also ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} }^r } { { \mathcal G } (\ell)
} {}
vor. Wir tensorieren mit ${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (- \ell)$ und erhalten eine Surjektion
\maabbdisp {} { { \left( {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{d}_{R} } (- \ell ) \right) } ^r } { { \mathcal G }
} {.}