Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 15

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Lokal freie Garben

Definition  

Ein -Modul auf einem beringten Raum heißt lokal frei vom Rang , wenn es eine offene Überdeckung und -Modulisomorphismen für jedes gibt.

Die einfachsten lokal freien Garben sind die freien Garben ist (zu ). Gemäß der Definition ist eine lokal freie Garbe lokal, also auf einer Überdeckung aus offenen Mengen, frei. Lokal lassen sich also freie Garben und lokal freie Garben nicht unterscheiden. Lokal freie Garben reflektieren daher globale Eigenschaften des beringten Raumes .

Wir betrachten lokal freie Garben auf Schemata, wo sich enge Beziehungen zu projektiven und flachen Moduln ergeben. Lokal freie Garben sind insbesondere kohärente Moduln Über einem lokalen Ring sind alle lokal freien Garben frei. Wenn man jedoch zu einem lokalen Ring das punktierte Spektrum betrachtet, so gibt es darauf in der Regel viele nichttriviale (nichtfreie) Garben, die Eigenschaften des lokalen Ringes (der Singularität) widerspiegeln. Da jedes Schema durch affine Schemata überdeckt wird, muss man insbesondere zuerst die lokal freien Garben auf einem affinen Schema verstehen.



Satz  

Sei ein kommutativer noetherscher Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul. Sei . Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

  1. Die Lokalisierungen sind frei vom Rang für jedes Primideal .
  2. Die Lokalisierungen sind frei vom Rang für jedes maximale Ideal von .
  3. Es gibt Elemente , die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen für jedes . frei vom Rang .
  4. Die zu gehörige kohärente Garbe auf ist lokal frei vom Rang .

Beweis  

. Dies ist eine Spezialisierung.
. Wir fixieren ein maximales Ideal . Nach Voraussetzung gibt es einen -Modulisomorphismus

Wir schreiben das Bild des -ten Standardvektors als

mit und . Es sei das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über . Der Isomorphismus ist über (auf ) definiert, d.h. wir haben einen Modulhomomorphismus

der in der Lokalisierung an den Isomorphismus induziert. Allerdings ist im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei ein Erzeugendensystem für den Modul . Da auf eine Surjektion induziert, gibt es Elemente , die nach abbilden. Die Nenner gehören nicht zu , daher können wir durch ersetzen und erhalten, dass ebenfalls surjektiv ist. Es sei der Kern von (diesem neuen) . Da injektiv ist, gilt . Da noethersch ist, ist nach Lemma 20.8 (Kommutative Algebra) endlich erzeugt und so gibt es wiederum ein Element , , mit . Indem wir weiter verkleinern erhalten wir einen Isomorphismus für ein , .

Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal eine offene Umgebung derart gibt, dass frei vom Rang ist. Daher enthält

alle maximalen Ideale und auch alle Primideale, es liegt also eine offene Überdeckung von vor. Daher ist das Einheitsideal, und dieses wird bereits von endlich vielen der erzeugt.
. Da die Elemente das Einheitsideal erzeugen, überdecken die zugehörigen offenen Mengens , , das Spektrum . Da freie -Moduln vom Rang sind, liegen Garbenisomorphismen vor. Daher ist lokal frei.
. Sei ein Primideal. Die lokale Freiheit bedeutet, dass wir eine offene Überdeckung derart haben, dass die frei vom Rang sind. Somit gibt es einen Index mit . Indem wir zu einer eventuell kleineren offenen Umgebung von übergehen können wir mit

übergehen. Dabei gilt, dass frei vom Rang ist. Doch dann ist erst recht die Lokalisierung frei vom Rang .




Lemma  

Es sei ein kommutativer lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann ist genau dann frei, wenn ein projektiver Modul ist.

Beweis  

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Lemma 30.2 (Kommutative Algebra) bewiesen. Sei also projektiv. Es sei ein minimales Erzeugendensystem von und sei

der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist

eine -lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus mit . Dann ist

mit und wobei wir mit identifizieren. Wir betrachten nun

und die induzierten -linearen Abbildungen

Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss sein. Aus Fakt ***** folgt und somit ist frei.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann ist genau dann lokal frei, wenn ein projektiver Modul ist.

Beweis  

Die eine Richtung folgt direkt aus Satz . (Kommutative Algebra) unter Berücksichtigung von Aufgabe *****. Zum Beweis der Umkehrung sei ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien -Modul . Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus mit gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus

surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach Fakt ***** kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen

Die Surjektivität von

folgt aber für jedes Primideal aus der Freiheit von und Lemma 30.2 (Kommutative Algebra).




Satz  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist lokal frei.
  2. ist ein projektiver Modul.
  3. ist ein flacher Modul.

Beweis  


Mit dem folgenden Satz erhält man viele lokal freie Garben, die im Allgemeinen nicht trivial sind.



Satz  

Sei ein noethersches Schema und sei

ein surjektiver Garbenhomomorphismus zwischen lokal freien Garben auf .

Dann ist der Kern von ebenfalls lokal frei.

Beweis  

Da die lokale Freiheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass

ein affines Schema zu einem noetherschen Ring ist und (durch weitere Verkleinerung der offenen Menge) dass ein surjektiver Modulhomomorphismus vorliegt. Nach Fakt ***** gibt es ein mit

Somit gibt es eine direkte Summenzerlegung

und ist die Projektion auf den Summanden . Damit ist nach Lemma 30.3 (Kommutative Algebra) ein projektiver -Modul und nach Lemma 15.4 lokal frei.


Bemerkung  

Zu Elementen in einem kommutativen Ring gehört der Modulhomomorphismus , . Das Bild ist das von den erzeugte Ideal, insbesondere ist diese Abbildung nur dann surjektiv, wenn die das Einheitsideal erzeugen. Der zugehörige Garbenhomomorphismus ist im Allgemeinen auch nicht surjektiv und der Kern ist im Allgemeinen nicht lokal frei. Wenn man allerdings die Einschränkung dieses Garbenhomomorphismus auf die offene Teilmenge betrachtet, also , so erhält man einen surjektiven Garbenhomomorphismus, da auf den einzelnen wegen ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Der Kern ist dann nach Satz 15.6 eine lokal freie Garbe auf dem quasiaffinen Schema , es wird mit bezeichnet, man sprich von einer Syzygiengarbe oder Kerngarbe. Wenn ein lokaler Ring ist und die ein Ideal erzeugen, dass zum maximalen Ideal primär ist (d.h. die schneiden geometrisch den abgeschlossenen Punkt heraus), so ist die Syzygiengarbe eine lokal freie Garbe auf dem punktierten Spektrum .


Definition  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

Es sei ein Punkt von mit der Eigenschaft, dass im Punkt die Dimension besitze. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix

im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.


Definition  

Zu einer lokal freien Garbe auf einem beringten Raum vom Rang nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Determinantengarbe von . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein beringter Raum und sei

eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben auf .

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

Beweis  

Es sei der Rang von und der Rang von . Wir betrachten offene Teilmengen , auf denen die drei beteiligten Garben trivialisieren und worauf die Garbensurjektion einen Schnitt besitzt. Solche offenen Mengen überdecken . Es sei

Es liegt dann die Situation

vor und sei

ein Schnitt. Wir definieren

durch

Diese Abbildung ist unabhängig vom gewählten Schnitt . Für einen weiteren Schnitt liegts ja in . Doch dann ist

da ja stets eine lineare Abhängigkeit zwischen den Vektoren vorliegt und daher die entsprechenden Danchprodukte sind. Die Abbildung ist bilinear und definiert daher eine lineare Abbildung

Da die Abbildungen kanonisch sind, induzierten sie auf kleineren offenen Teilmengen stets die gleiche Abbildung. Daher verkleben sie nach Korollar 4.10 zu einem Garbenhomomorphismus

Dieser ist lokal aufgrund der expliziten Beschreibung ein Isomorphismus, also nach Lemma 4.6 auch global ein Isomorphismus.



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