Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 15

Quasikohärente Moduln auf projektiven Schemata

Graduierte Moduln zu einem graduierten Ring ${}R$ führen zu quasiprojektiven Moduln auf ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter ${}R$- Modul.

Dann besitzt der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Eigenschaft, dass für jede offene Menge ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ der ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Modul ${}\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Graduierung besitzt, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich ist.

Beweis

Die Aussage bedeutet zunächst für ${}M=R$, dass die Strukturgarbe auf den offenen Mengen zu homogenen Idealen eine Graduierung besitzt. Dies ist für die ${}D(f)$ zu homogenem ${}f$ klar und folgt daraus für beliebige ${}D({\mathfrak {a}})$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$. Ebenso ergibt sich der Modulfall.

$\Box$

Es ergibt keinen Sinn, zu sagen, dass ${}{\widetilde {M}}$ als Ganzes graduiert ist, da dies auf beliebigen offenen Mengen, die nicht von einem homogenen Ideal herrühren, nicht definiert ist. Allerdings erlaubt es die Graduierung auf den homogenen Teilmengen, auf dem zu ${}R$ gehörenden projektiven Spektrum eine Modulgarbe zu definieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter ${}R$- Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$. Die ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulgarbe ${}{\widehat {M}}$ zu ${}M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge ${}V=D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq Y$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

${}\Gamma {\left(V,{\widehat {M}}\right)}:=\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{0}\,$

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulstruktur.

Für einen graduierten ${}R$-Modul ${}M$ und ein homogenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ setzen wir ${}M_{({\mathfrak {p}})}={\left(M_{h{\text{ homogen}},h\notin {\mathfrak {p}}}\right)}_{0}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter ${}R$- Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$ und ${}{\widehat {M}}$ der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. ${}{\widehat {M}}$ ist ein quasikohärenter Modul.
2. Zu einem homogenen Element ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}={\left(M_{f}\right)}_{0}\,.$

   Ferner ist ${}{\widehat {M}}$ eingeschränkt auf ${}D_{+}(f)$ gleich der affinen Vergarbung von ${}{\left(M_{f}\right)}_{0}$ auf ${}D_{+}(f)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$.

3. Zu einem homogenen Primideal ${}R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {p}}$ ist

   ${}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}=M_{({\mathfrak {p}})}\,.$

4. Es ist

   ${}\Gamma {\left(Y,{\widehat {M}}\right)}={\left(\Gamma {\left(D(R_{+}),{\widetilde {M}}\right)}\right)}_{0}\,.$

Beweis

1. Die Garbeneigenschaft ergibt sich aus der Garbeneigenschaft von ${}{\widetilde {M}}$. Für die Quasikohärenz siehe Teil (2).
2. Für homogenes ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}=\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}_{0}=(M_{f})_{0}\,$

   nach Lemma 14.5. Somit stimmt die Garbe ${}{\widehat {M}}{|}_{D_{+}(f)}$ global auf ${}D_{+}(f)$ mit der Garbe ${}{\widetilde {(M_{f})_{0}}}$ überein. Für die offenen Teilmengen ${}D(g)\subseteq D(f)$ gelten die entsprechenden Gleichheiten, und diese Identifizierungen sind mit den Restriktionen verträglich. Daher stimmen die Garben überhaupt überein und es liegt Quasikohärenz vor.

3. Folgt aus (2) über

   ${}{\begin{aligned}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}\\&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}_{0}\\&={\left(\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}\right)}_{0}\\&={\left(M_{R\setminus {\mathfrak {p}}\cap H}\right)}_{0}\\&=M_{({\mathfrak {p}})}.\end{aligned}}$

4. Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Definition.

$\Box$

Die letzte Aussage bedeutet, dass im Allgemeinen der globale Schnittmodul von ${}{\widehat {M}}$ auf ${}Y$ nicht unmittelbar aus ${}M$ berechnet werden kann.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}R(n)$ der um ${}n$ verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n):={\widehat {R(n)}}\,$

den zugehörigen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.

Beispiel

Zum Polynomring ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$, ${}d\geq 1$, mit der Standardgraduierung ist

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{\ell }\,,$

also die Polynome vom Grad ${}\ell$ in ${}d+1$ Variablen. Für negatives ${}\ell$ ist dies der Nullraum, für ${}\ell =0$ (die Strukturgarbe) ist dies gleich ${}K$, für ${}\ell =1$ besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen ${}D_{+}(X_{i})$ gilt

${}\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{X_{i}}\right)}_{\ell }=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]\cdot X_{i}^{\ell }\,.$

Für den projektiven Raum haben wir schon in Beispiel 13.19 gesehen, dass diese Garben invertierbar sind. Dies gilt auch allgemein.

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring.

Dann sind die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$ auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ invertierbar.

Beweis

Es sei ${}R=R_{0}[x_{1},\ldots ,x_{d}]=R_{0}[X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ mit ${}x_{i}$ vom Grad ${}1$. Dann erzeugen die ${}x_{i}$ auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung

${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}=\bigcup _{i=1}^{d}D_{+}(x_{i})\,$

vor. Es sei ${}x$ eines der ${}x_{i}$. Nach Lemma 15.3  (2) ist

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}={\mathcal {L}}\,,$

wobei ${}{\mathcal {L}}$ die affine Vergarbung des ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$- Moduls ${}L=(R_{x}(n))_{0}=(R_{x})_{n}$ auf

${}D_{+}(x)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{x}\right)}_{0}\right)}\,$

bezeichne. In dieser Situation ist aber

${\left(R_{x}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(R_{x}\right)}_{n},\,h\longmapsto hx^{n},$

ein ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$- Modulisomorphismus, und daher liegt ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}$- Modulisomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}$

vor.

$\Box$

Die getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$ sind für das projektive Schema ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ charakteristische, allerdings vom graduierten Ring ${}R$ abhängige invertierbare Garben.

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring, sei ${}M$ ein graduierter ${}R$- Modul und ${}n\in \mathbb {Z}$.

Dann gibt es eine natürliche ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Isomorphie

${\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\longrightarrow {\widehat {M(n)}}$

auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$, wobei ${}M(n)$ den um ${}n$ verschobenen Modul zu ${}M$ bezeichnet.

Beweis

Zu einem homogenen Element ${}f\in R_{+}$ gibt es einen ${}(R_{f})_{0}$- Modulhomomorphismus

$(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n},\,{\frac {m}{f^{k}}}\otimes {\frac {r}{f^{\ell }}}\longmapsto {\frac {rm}{f^{k+\ell }}},$

der unmittelbar von der (homogenen) Modulmultiplikation ${}M\times R\rightarrow M$ herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ einen Modulhomomorphismus

$\operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,{\left((M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,(M_{f})_{n},$

der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen ${}(M(n)_{f})_{0}=(M_{f})_{n}$ ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich ${}{\widehat {M(n)}}$. Die Vergarbung der linken Seite (in zwei Schritten) ist ${}{\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$, so dass ein Homomorphismus von Moduln

${\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\longrightarrow {\widehat {M(n)}},$

vorliegt.

Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn ${}f$ homogen ist, so ist der obige ${}(R_{f})_{0}$-Modulhomomorphismus

$(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n}$

nach Lemma 14.10 und Lemma 15.3  (2) gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn ${}f$ den Grad ${}1$ besitzt (und die zugehörigen offenen Mengen ${}D_{+}(f)$ überdecken ${}Y$), so liegt ein Isomorphismus vor. Nach Aufgabe 12.2 ist ${}(R_{f})_{0}\cong (R_{f})_{n}$ (über ${}1\mapsto f^{n}$) so dass links ein zu ${}(M_{f})_{0}$ isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch ${}{\frac {m}{f^{k}}}\mapsto f^{n}\cdot {\frac {m}{f^{k}}}$ gegeben, und diese ist bijektiv, da ${}f$ eine Einheit ist.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring, es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ und ${}n\in \mathbb {Z}$. Dann nennt man

${}{\mathcal {F}}(n):={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,$

den ${}n$-ten Twist von ${}{\mathcal {F}}$.

Die Modulgarbe ${}{\widehat {M(n)}}$ stimmt also mit dem ${}n$-ten Twist von ${}{\widehat {M}}$ überein.

Globale Erzeugtheit

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$. Man sagt, dass ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ (${}i\in I$) derart gibt, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ der Halm ${}{\mathcal {M}}_{x}$ als ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$- Modul von den (Einschränkungen der) ${}s_{i}$ erzeugt wird.

Proposition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ wird von globalen Schnitten erzeugt.
2. Ein quasikohärenter Modul ${}{\mathcal {M}}$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{(I)}\rightarrow {\mathcal {M}}$ gibt.
3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
4. Wenn ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird und ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ surjektiv ist, so wird auch ${}{\mathcal {N}}$ von globalen Schnitten erzeugt.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.17.

$\Box$

Lemma

Auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring ${}R$

werden die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei ${}k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei ${}k<0$ und ${}d\geq 1$ nicht.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.18.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$.

Dann gibt es ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von globalen Schnitten erzeugt wird.

Beweis

Es ist ${}{\mathcal {G}}{|}D_{+}(X_{i})\cong {\widetilde {M}}_{i}$ mit einem endlich erzeugten Modul ${}M_{i}$ über dem zu ${}D_{+}(X_{i})$ gehörenden Polynomring ${}R_{i}$. Für die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(1)$ ist der Invertierbarkeitsort zum globalen Schnitt ${}X_{i}$ nach Aufgabe 13.21 gleich ${}D_{+}(X_{i})$. Für ein endliches ${}R_{i}$- Modulerzeugendensystem ${}s_{ij}$, ${}j\in J_{i}$, von ${}M_{i}$ gibt es nach Satz 14.13  (2) einen (gemeinsamen) Exponenten ${}n$ derart, dass die ${}X_{i}^{n}s_{ij}$ von globalen Elementen aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(n)\right)}$ herrühren. Dies kann man für jedes ${}i$ machen und erhält somit ein ${}\ell$ derart, dass die globalen Schnitte aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(\ell )\right)}$ die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$.

Dann gibt es eine endliche direkte Summe ${}\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven Modulhomomorphismus

$\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

Beweis

Nach Satz 15.12 gibt es ein ${}\ell$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Proposition 15.10  (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}(\ell )$

vor. Wir tensorieren mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )$ und erhalten eine Surjektion

${\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )\right)}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

$\Box$

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