Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 15

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Quasikohärente Moduln auf projektiven Schemata

Graduierte Moduln zu einem graduierten Ring führen zu quasiprojektiven Moduln auf .



Lemma  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring und ein -graduierter -Modul.

Dann besitzt der zugehörige -Modul auf die Eigenschaft, dass für jede offene Menge zu einem homogenen Ideal der -Modul eine -Graduierung besitzt, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich ist.

Beweis  

Die Aussage bedeutet zunächst für , dass die Strukturgarbe auf den offenen Mengen zu homogenen Idealen eine Graduierung besitzt. Dies ist für die zu homogenem klar und folgt daraus für beliebige zu einem homogenen Ideal . Ebenso ergibt sich der Modulfall.

Es ergibt keinen Sinn, zu sagen, dass als Ganzes graduiert ist, da dies auf beliebigen offenen Mengen, die nicht von einem homogenen Ideal herrühren, nicht definiert ist. Allerdings erlaubt es die Graduierung auf den homogenen Teilmengen, auf dem zu gehörenden projektiven Spektrum eine Modulgarbe zu definieren.


Definition  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring und ein -graduierter -Modul. Es sei das projektive Spektrum zu . Die -Modulgarbe zu wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge zu einem homogenen Ideal setzt man

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen -Modulstruktur.

Für einen graduierten -Modul und ein homogenes Primideal setzen wir .



Lemma  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring und ein -graduierter -Modul. Es sei das projektive Spektrum zu und der zugehörige -Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften

  1. ist ein quasikohärenter Modul.
  2. Zu einem homogenen Element ist

    Ferner ist eingeschränkt auf gleich der affinen Vergarbung von auf .

  3. Zu einem homogenen Primideal ist
  4. Es ist

Beweis  

  1. Die Garbeneigenschaft ergibt sich aus der Garbeneigenschaft von . Für die Quasikohärenz siehe Teil (2).
  2. Für homogenes ist

    nach Lemma 14.5. Somit stimmt die Garbe global auf mit der Garbe überein. Für die offenen Teilmengen gelten die entsprechenden Gleichheiten, und diese Identifizierungen sind mit den Restriktionen verträglich. Daher stimmen die Garben überhaupt überein und es liegt Quasikohärenz vor.

  3. Folgt aus (2) über
  4. Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Definition.


Die letzte Aussage bedeutet, dass im Allgemeinen der globale Schnittmodul von auf nicht unmittelbar aus berechnet werden kann.


Definition  

Es sei ein -graduierter kommutativer Ring und der um verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

den zugehörigen -Modul auf . Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.


Beispiel  

Zum Polynomring , , mit der Standardgraduierung ist

also die Polynome vom Grad in Variablen. Für negatives ist dies der Nullraum, für (die Strukturgarbe) ist dies gleich , für besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen gilt


Für den projektiven Raum haben wir schon in Beispiel 13.19 gesehen, dass diese Garben invertierbar sind. Dies gilt auch allgemein.



Lemma  

Es sei ein standard-graduierter kommutativer Ring.

Dann sind die getwisteten Strukturgarben auf invertierbar.

Beweis  

Es sei mit vom Grad . Dann erzeugen die auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung

vor. Sei eines der . Nach Lemma 15.3  (2) ist

wobei die affine Vergarbung des -Moduls auf

bezeichne. In dieser Situation ist aber

ein -Modulisomorphismus, und daher liegt ein -Modulisomorphismus

vor.


Die getwisteten Strukturgarbe sind für das projektive Schema charakteristische, allerdings vom graduierten Ring abhängige invertierbare Garben.



Lemma  

Es sei ein standard-graduierter kommutativer Ring, sei ein graduierter -Modul und .

Dann gibt es eine natürliche -Isomorphie

auf , wobei den um verschobenen Modul zu bezeichnet.

Beweis  

Zu einem homogenen Element gibt es einen -Modulhomomorphismus

der unmittelbar von der (homogenen) Modulmultiplikation herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge einen Modulhomomorphismus

der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich . Die Vergarbung der linken Seite (in zwei Schritten) ist , so dass ein Homomorphismus von Moduln

vorliegt.

Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn homogen ist, so ist der obige -Modulhomomorphismus

nach Lemma 14.10 und Lemma 15.3  (2) gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn den Grad besitzt (und die zugehörigen offenen Mengen überdecken ), so liegt ein Isomorphismus vor. Nach Aufgabe 12.2 ist (über ) so dass links ein zu isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch gegeben, und diese ist bijektiv, da eine Einheit ist.



Definition  

Es sei ein standard-graduierter Ring, es sei ein quasikohärenter Modul auf und . Dann nennt man

den -ten Twist von .

Die Modulgarbe stimmt also mit dem -ten Twist von überein.



Globale Erzeugtheit

Definition  

Es sei ein beringter Raum und es sei ein -Modul auf . Man sagt, dass von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie () derart gibt, dass für jeden Punkt der Halm als -Modul von den (Einschränkungen der) erzeugt wird.



Proposition

Es sei ein Schema. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Strukturgarbe wird von globalen Schnitten erzeugt.
  2. Ein quasikohärenter Modul wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus gibt.
  3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
  4. Wenn von globalen Schnitten erzeugt wird und surjektiv ist, so wird auch von globalen Schnitten erzeugt.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.17.



Lemma

Auf dem projektiven Raum über einem kommutativen Ring

werden die getwisteten Strukturgarben bei von globalen Schnitten erzeugt werden und bei und nicht.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.18.




Satz  

Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .

Dann gibt es ein derart, dass von globalen Schnitten erzeugt wird.

Beweis  

Es ist mit einem endlich erzeugten Modul über dem zu gehörenden Polynomring . Für die invertierbare Garbe ist der Invertierbarkeitsort zum globalen Schnitt nach Aufgabe 13.21 gleich . Für ein endliches -Modulerzeugendensystem , , von gibt es nach Satz 14.13  (2) einen (gemeinsamen) Exponenten derart, dass die von globalen Elementen aus herrühren. Dies kann man für jedes machen und erhält somit ein derart, dass die globalen Schnitte aus die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.




Satz  

Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .

Dann gibt es eine endliche direkte Summe und einen surjektiven Modulhomomorphismus

Beweis  

Nach Satz 15.12 gibt es ein derart, dass von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Proposition 15.10  (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus

vor. Wir tensorieren mit und erhalten eine Surjektion


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