Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

über ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es seien die Vektorfelder

${}V=y^{3}\partial _{1}+xy\partial _{2}\,$

und

${}W={\left(x^{2}-y\right)}\partial _{1}+4x^{3}y^{2}\partial _{2}\,$

gegeben. Es sei

${}f=x^{3}-xy^{2}+y^{4}\,.$

Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.

1. ${}\nabla _{V}f$,
2. ${}\nabla _{W}f$,
3. ${}[V,W]$,
4. ${}\nabla _{W}\nabla _{V}f$,
5. ${}\nabla _{V}\nabla _{W}f$,
6. ${}\nabla _{[V,W]}(f)$.

Aufgabe *

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

$p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vom Rang ${}1$ über ${}\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{1}(x,y)=x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}$ und ${}\Gamma _{2}(x,y)=7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.

Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

$p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vom Rang ${}1$ über ${}\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{1}(x,y)=2x^{3}-xy^{2}+\sinh {\left(xy^{3}\right)}$ und ${}\Gamma _{2}(x,y)=xy^{4}-\exp \left(x^{3}-y^{4}\right)$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine eindimensionale ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$.

Aufgabe *

Es sei ${}E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang ${}1$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$. Es sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf ${}E$, dessen Krümmungsoperator trivial sei. Zeige, dass ${}\nabla$ lokal integrabel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

über ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es seien die Vektorfelder

${}V=6xy^{4}\partial _{1}-3y^{2}e^{xy}\partial _{2}\,$

und

${}W={\left(x+y^{3}\right)}\partial _{1}+2x^{2}y\partial _{2}\,$

gegeben. Es sei

${}f=5x^{2}-2\cos \left(x^{2}y^{3}\right)-3y^{5}\,.$

Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.

1. ${}\nabla _{V}f$,
2. ${}\nabla _{W}f$,
3. ${}[V,W]$,
4. ${}\nabla _{W}\nabla _{V}f$,
5. ${}\nabla _{V}\nabla _{W}f$,
6. ${}\nabla _{[V,W]}(f)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}U=\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$. Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

$p\colon U\times \mathbb {R} \longrightarrow U$

vom Rang ${}1$ über ${}U$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{1}(x,y)=\ln \left(xy\right)$ und ${}\Gamma _{2}(x,y)=5x^{4}-\cos x^{2}y^{2}+\ln \left(x+x^{3}\right)$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.