Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 29

Die Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel ${}TM$ sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Wir wollen den Krümmungsoperator ${}R$ in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern ${}V,W$ eine Abbildung

$R(V,W)\colon C^{2}(M,TM)\longrightarrow C^{0}(M,TM),$

d.h. er ergibt angewendet auf ein (zweifach differenzierbares) Vektorfeld ${}Z$ das Vektorfeld

${}R(V,W)(Z)=\nabla _{V}\nabla _{W}Z\,.$

So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung

$C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\longrightarrow C^{\infty }(TM),$

wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen versehen mit einer riemannschen Metrik ${}g_{ij}$. Es sei ${}\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{n}$.

Dann gilt für den Krümmungsoperator

${}R(\partial _{i},\partial _{j})(\partial _{k})=\sum _{\ell =1}^{n}R_{ijk}^{\ell }\partial _{\ell }\,$

mit

${}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,$

wobei die

${}\Gamma _{ij}^{\ell }={\frac {1}{2}}\sum _{\mu =1}^{n}g^{\ell \mu }(\partial _{i}g_{j\mu }+\partial _{j}g_{i\mu }-\partial _{\mu }g_{ij})\,$

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 28.2.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Dann besitzt der Krümmungsoperator folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}R(V,W)Z$ linear in allen drei Komponenten.
2. Für ${}P\in M$ hängt ${}(R(V,W)Z)(P)$ nur von ${}V(P),W(P),Z(P)$ ab.
3. Es ist

   ${}R(V,W)=-R(W,V)\,$

4. Es ist

   ${}R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W=0\,.$

5. Es ist

   ${}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle \,.$

6. Es ist

   ${}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle \,.$

Beweis

1. Die Linearität in ${}Z$ beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in ${}V$ und in ${}W$ beruht auf Lemma 24.10 und auf Lemma 11.8.
2. Für die Abhängigkeit in ${}V$ und ${}W$ folgt die Aussage aus Lemma 28.4. Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in ${}Z$ nur von ${}Z(P)$ abhängt, können wir von der lokalen Situation auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ausgehen und ${}V=\partial _{i}$, ${}W=\partial _{j}$ und ${}Z=h\partial _{k}$ mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion ${}h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ansetzen. Es ist dann nach Lemma 25.10, Satz 25.5 und dem Satz von Schwarz

   ${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R{\left(\partial _{i},\partial _{j}\right)}{\left(h\partial _{k}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\partial _{k}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\right)}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}+{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}\partial _{j}h\right)}\partial _{k}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)}-{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}-{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}-{\left(\partial _{j}\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)},\,\end{aligned}}$

   woraus hervorgeht, dass dies nur von ${}h(P)$ abhängt.
3. Ist klar aufgrund der Definition und wegen Lemma 11.8.
4. Aufgrund der Torsionsfreiheit (siehe Satz 26.14) und der Jacobi-Identität ist

   ${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W\\&=\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}Z\right)}-\nabla _{W}{\left(\nabla _{V}Z\right)}-\nabla _{[V,W]}Z+\nabla _{W}{\left(\nabla _{Z}V\right)}-\nabla _{Z}{\left(\nabla _{W}V\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{Z}{\left(\nabla _{V}W\right)}-\nabla _{V}{\left(\nabla _{Z}W\right)}-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z-\nabla _{[W,Z]}V-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}-\nabla _{[Z,V]}W+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z\\&=[V,[W,Z]]+[W,[Z,V]]+[Z,[V,W]]\\&=0.\,\end{aligned}}$

5. Wir können und aus Vektorfelder ${}V,W$ mit ${}[V,W]=0$ beschränken. Es ist dann nach Satz 26.14  (2) und dem Satz von Schwarz

   ${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T-\nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T,Z\right\rangle -\left\langle \nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle \nabla _{W}T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle \nabla _{W}T,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle \nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}{\left(-\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{W}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}-\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}{\left(-\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}\\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle .\,\end{aligned}}$

6. Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist

   ${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(T,V)W,Z\right\rangle -\left\langle R(W,T)V,Z\right\rangle \\&=\left\langle R(T,V)Z,W\right\rangle +\left\langle R(W,T)Z,V\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,T)V,W\right\rangle -\left\langle R(T,Z)W,V\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle +\left\langle R(V,Z)W,T\right\rangle +\left\langle R(Z,W)V,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(W,V)Z,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle .\,\end{aligned}}$

   Dies ergibt die Behauptung.

$\Box$

Aufgrund von Lemma 29.2  (2) ist für Vektoren ${}v,w,z\in T_{P}M$ in einem Punkt ${}P\in M$ ein Vektor ${}R(v,w)(z)\in T_{P}M$ wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder ${}V,W,Z$ mit ${}V(P)=v$ etc. (lokal) realisieren kann und dann ${}R(V,W)(Z)$ im Punkt auswerten kann.

Die Schnittkrümmung

Definition

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator ${}R$ versehen sei. Dann nennt man zu linear unabhängigen Vektoren ${}v,w\in T_{P}M$ über einem Punkt ${}P\in M$ die Zahl

${}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

die Schnittkrümmung zu ${}v,w$ in ${}P$.

Diese Schnittkrümmung ist wohldefiniert, da im Fall der linearen Unabhängigkeit der Nenner nicht ${}0$ ist.

Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator ${}R$ versehen sei.

Dann hängt die Schnittkrümmung zu zwei linear unabhängigen Vektoren ${}v,w\in T_{P}M$ nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene

${}\mathbb {R} v+\mathbb {R} w\subseteq T_{P}M\,$

ab.

Beweis

Wir betrachten den definierenden Ausdruck

${}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck ${}R(v,w)z$ ist nach Lemma 29.2 linear in allen Komponenten. Wenn man ${}v$ oder ${}w$ mit einem Skalar ${}a\neq 0$ multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor ${}a^{2}$ rausziehen. Ferner gilt

${}{\begin{aligned}\left\langle R(v+w,w)w,v+w\right\rangle &=\left\langle R(v,w)w+R(w,w)w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle .\end{aligned}}$

Nach Lemma 29.2  (4) sind ${}\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle$ und ${}\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle$ gleich ${}0$ und wegen Lemma 29.2  (5,6) ist auch ${}\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle =0$. Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man ${}v$ durch ${}v+w$ ersetzt. Wegen

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle v+w,v+w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v+w,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle ^{2}-2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\,\end{aligned}}$

ändert sich dabei auch nicht der Nenner.

$\Box$

Bemerkung  

Auf einer zweidimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es in jedem Tangentialraum nur den Raum selbst als zweidimensionalen Untervektorraum. Das bedeutet, dass im zweidimensionalen Fall nach Lemma 29.4 die Argumente in der Schnittkrümmung überflüssig sind. Deshalb fassen wir in dieser Situation die Schnittkrümmung als eine reellwertige Funktion auf der Mannigfaltigkeit auf.

Lemma

Für eine zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit

ist die Schnittkrümmung auf jeder Karte gleich ${}-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$.

Beweis

Wir können direkt die Situation auf einer Karte betrachten. Nach Lemma 29.4 kann man im zweidimensionalen Fall die Schnittkrümmung mit einer beliebigen Basis ausrechnen, wir nehmen ${}\partial _{1}$ und ${}\partial _{2}$. Für die Schnittkrümmung ist unter Verwendung von Lemma 29.2  (5)

${}{\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{\left\langle \partial _{1},\partial _{1}\right\rangle \left\langle \partial _{2},\partial _{2}\right\rangle -\left\langle \partial _{1},\partial _{2}\right\rangle ^{2}}}\\&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\end{aligned}}$

Dabei ist gemäß Lemma 29.1

${}R(\partial _{1},\partial _{2})(\partial _{1})=R_{121}^{1}\partial _{1}+R_{121}^{2}\partial _{2}\,.$

Dies ergibt

${}{\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}.\end{aligned}}$

Nach Lemma 29.2  (4) ist

${}\left\langle R(\partial _{1},\partial _{1})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle =R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}=0\,.$

Wir multiplizieren den Zähler der Schnittkrümmung mit ${}g_{11}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}&=g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}-g_{12}{\left(R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}\right)}\\&=g_{11}g_{22}R_{121}^{2}-g_{12}^{2}R_{121}^{2}\\&={\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}R_{121}^{2}.\end{aligned}}$

Also ist

${}K(\partial _{1},\partial _{2})=-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen und sei ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei.

Dann ist die Gaußkrümmung von ${}Y$ gleich der Schnittkrümmung von ${}Y$.

Beweis

Nach Lemma 29.6 ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich ${}-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$. Wegen

$R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}=-g_{11}K\,.$

ist

$K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,$

was mit der Gaußkrümmung gemäß Satz 19.7 übereinstimmt.

$\Box$

Beispiel

Für die euklidische Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Standardskalarprodukt ist die Schnittkrümmung konstant gleich ${}0$.

Beispiel

Für die Einheitskugel ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ mit der induzierten riemannschen Struktur ist die Schnittkrümmung konstant gleich ${}1$. Dies folgt aus Beispiel 5.6 in Verbindung mit Lemma 29.7.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel 18.8 und Beispiel 26.7 an. Mit Lemma 29.1 ist

$R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}={\frac {1}{y^{2}}}-{\frac {1}{y^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {1}{y^{2}}}\,.$

Nach Lemma 29.6 gilt für die Schnittkrümmung

${}K=-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}=-{\frac {\frac {1}{y^{2}}}{\frac {1}{y^{2}}}}=-1\,,$

es liegt also konstante Schnittkrümmung ${}-1$ vor.

<< | Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)