Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}5$ und ${}7$ an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}105$ und ${}150$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}3711$ und ${}4115$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}12733$ und ${}3983$. Man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}12733$ und ${}3983$ an.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe (3 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe (3 Punkte)

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${}77$-, ${}91$- und ${}143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe ${}H\subseteq (\mathbb {Q} ,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen

${\frac {8}{7}},\,{\frac {5}{11}},\,{\frac {7}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass das nichtnegative kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{i}$ mit demjenigen gemeinsamen Vielfachen übereinstimmt, das bezüglich der Ordnungsrelation „${}\leq$“ das kleinste gemeinsame Vielfache ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Verknüpfung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {kgV} \,(a,b),$

(wobei man das ${}\operatorname {kgV} \,\geq 0$ wählt), ein Monoid definiert.