Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5

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Wir beginnen mit drei Aufwärmaufgaben.

Aufgabe

Beweise Lemma 5.3.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von eine Untergruppe von bildet.


Aufgabe

Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und -Vektorräume und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass bereits -linear ist.


Die letzte Aufgabe ist eher zum Nachdenken als zum Lösen gedacht und ist nicht abzugeben.

Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht -linear sind?



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