Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5

Wir beginnen mit drei Aufwärmaufgaben.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $φ : G \to G$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von $φ$ eine Untergruppe von $G$ bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}) .

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von $ℚ^{2}$ nach $ℚ^{2}$ und ebenso von $ℤ^{2}$ nach $ℤ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien $G_{1}, \dots, G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

G_{1} \times \dots \times G_{n} .

b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

φ : H ⟶ G_{1} \times \dots \times G_{n}, x ⟼ φ (x) = (φ_{1} (x), \dots, φ_{n} (x)),

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten $φ_{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei $n \in ℕ$ . Zeige, dass das Potenzieren

G ⟶ G, x ⟼ x^{n},

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von $(ℚ, +, 0)$ nach $(ℤ, +, 0)$ .

Aufgabe * (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null $(ℂ ∖ {0}, \cdot, 1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen $(ℝ_{+}, \cdot, 1)$ .