Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 6

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Aufwärmaufgaben.

Aufgabe

Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.


Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe *

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


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Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem -Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem -Schachbrett aus?



Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , wobei bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus mit gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Konjugationsklassen der (eigentlichen) Würfelgruppe.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Menge der invertierbaren -Matrizen über einem Körper . Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen und aus die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Betrachte die Relation auf , wobei bedeutet, dass es eine stetige Abbildung

mit und gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.



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