Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 25/latex

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\setcounter{section}{25}






\zwischenueberschrift{Konstruierbare und algebraische Zahlen}

Wir wollen nun die konstruierbaren Zahlen algebraisch mittels quadratischer Körpererweiterungen charakterisieren. Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpers
\mathl{K \subseteq \R}{} verstehen wir eine quadratische Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq K'}{} mit
\mathl{K' \subseteq \R}{,} die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist immer gegeben durch die Adjunktion einer Quadratwurel einer positiven reellen Zahl
\mathbed {\sqrt{c}} {mit}
{c \in K} {}
{\sqrt{c} \not \in K} {} {} {.} Es gilt die Isomorphie
\mathdisp {K[\sqrt{c}] \cong K[X]/(X^2-c)} { . }





\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}}{} ein Punkt, der sich aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^2 }
{ = }{ K + K { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {in einem Schritt konstruieren}{}{} lässt.}
\faktfolgerung {Dann liegen die Koordinaten von $P$ in einer reell-\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterung}{}{} von $K$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus $K^2$ \definitionsverweis {in einem Schritt}{}{} zu konstruieren. \teilbeweis {Es sei $P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden \mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {,} die über $K$ definiert sind.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid a_1x+b_1y+c_1=0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_2 }
{ = }{{ \left\{ (x,y) \mid a_2x+b_2d+c_2=0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2 \in K}{.} Dann gehört der Schnittpunkt zu $K^2$ und seine Koordinaten gehören zu $K$.}
{} \teilbeweis {Sei $G$ eine über $K$ definierte Gerade und $C$ ein über $K$ definierter Kreis.\leerzeichen{}}{}{}
{Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{{ \left\{ (x,y) \mid ax+by+c = 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r)^2 +(y-s)^2 = d \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{a,b,c,r,s,d \in K}{.} Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so dass die Geradengleichung auf die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ux+v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ über $K$. Die reellen Koordinaten der \zusatzklammer {eventuell komplexen} {} {} Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von $K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für $y$.}
{} \teilbeweis {Seien nun \mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {} zwei über $K$ definierte verschiedene Kreise.\leerzeichen{}}{}{}
{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C_1 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r_1)^2 +(y-s_1)^2-a_1=0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C_2 }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \mid (x-r_2)^2 +(y-s_2)^2-a_2=0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(-2r_1+2r_2) +r_1^2-r_2^2 +y(-2s_1+2s_2) +s_1^2-s_2^2 -a_1+a_2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.}
{}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Two_Lines.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Two Lines.svg } {} {Jim.belk} {Commons} {PD} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Inversie.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Inversie.PNG } {} {Lymantria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die beiden Kreise mit den Kreisgleichungen
\mathbeddisp {x^2+y^2=1} {und}
{(x-2)^2+y^2=3} {}
{} {} {} {.} Die Differenz der beiden Gleichungen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-(x-2)^2 +2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mathdisp {4x=2 \text{ und somit } x= { \frac{ 1 }{ 2 } }} { . }
Die Schnittpunkte der beiden Kreise müssen also auch auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen Geraden liegen. Setzt man diese Geradenbedingung in die erste Kreisgleichung ein, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} {1 -x^2 }
{ =} {1- { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } } }
{ } {}
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{P\in {\mathbb C}}{} eine komplexe Zahl.}
\faktvoraussetzung {Dann ist $P$ eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} genau dann,}
\faktfolgerung {wenn es eine Kette von reell-\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} { K_1 }
{ \subset} { K_2 }
{ \subset \ldots \subset} { K_n }
{ } { }
} {}{}{} derart ist, dass die Koordinaten von $P$ zu $K_n$ gehören.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}}{} eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten
\mathl{P_1 , \ldots , P_n=P}{} derart, dass
\mathl{P_{i+1}}{} aus den Vorgängerpunkten
\mathl{\{0,1,P_1 , \ldots , P_{i}\}}{} \definitionsverweis {in einem Schritt konstruierbar}{}{} ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i }
{ = }{ \left( a_i , \, b_i \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_i }
{ =} { \Q(a_1, b_1 , \ldots , a_{i},b_{i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von $\R$. Nach Lemma 25.1 liegt
\mathl{K_{i+1}}{} in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K_i$ \zusatzklammer {und zwar ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{K_{i+1} }
{ = }{ K_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder $K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von $K_i$} {} {.} Die Koordinaten von $P$ liegen also in $K_n$, und $K_n$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von $\Q$.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von $\Q$ liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_0 }
{ = }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und diese Zahlen sind konstruierbar. Sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus $K_n$ konstruierbar sind, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n }
{ \subset }{ K_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Lemma 22.10 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K_{n+1} }
{ = }{ K_n[ \sqrt{c}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer positiven reellen Zahl
\mathl{c \in K_n}{.} Nach Induktionsvoraussetzung ist $c$ konstruierbar und nach Lemma 24.10 ist $\sqrt{c}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl
\mathbed {u+v \sqrt{c}} {mit}
{u,v \in K_n} {}
{} {} {} {,} konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von $P$ konstruierbar und somit ist nach Lemma 24.7 auch $P$ selbst konstruierbar.}
{}

}


Man kann ebenfalls zeigen, dass eine komplex-algebraische Zahl $z$ genau dann konstruierbar ist, wenn der Grad des Zerfällungskörpers des Minimalpolynoms von $z$ eine Potenz von $2$ ist. Dies erfordert jedoch die Galoistheorie. Für viele Anwendungen ist allerdings schon die oben vorgestellte Charakterisierung bzw. die folgenden Korollare ausreichend.





\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Ist algebraisch/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine mit Zirkel und Lineal \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {algebraisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 25.3, aus Satz 23.1 und aus Satz 22.1.

}






\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Grad}{}{} des \definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} von $z$ eine Potenz von zwei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl $z$ liegen nach Satz 25.3 in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subset} { K_1 }
{ \subset} { K_2 }
{ \subset \ldots \subset} { K_n }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n }
{ \subset }{ K_n[ { \mathrm i} ] }
{ = }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergänzen mit
\mathl{z \in L}{.} Nach der Gradformel ist der Grad von $L$ über $\Q$ gleich $2^{n+1}$. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(z) }
{ = }{ \Q[z] }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von
\mathl{\Q[z]}{} über $\Q$ ein Teiler von
\mathl{2^{n+1}}{,} also selbst eine Potenz von $2$.

}







\zwischenueberschrift{Das Delische Problem}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Roman_Statue_of_Apollo.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die Bewohner der Insel Delos befragten während einer Pestepidemie 430 v. Chr. das Orakel von Delphi. Sie wurden aufgefordert, den würfelförmigen Altar des Apollon zu verdoppeln.} }

\bildlizenz { Roman Statue of Apollo.jpg } {} {Stuart Yeates} {flickr} {CC-by-sa-2.0} {}

Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen auf die klassischen Konstruktionsprobleme.





\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Würfelverdopplung \definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal}{}{} ist nicht möglich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge $1$ und dem Volumen $1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also
\mathl{2^{1/3}}{} mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von
\mathl{2^{1/3}}{} ist
\mathl{X^3-2}{,} da dieses offenbar
\mathl{2^{1/3}}{} annulliert und nach Satz 22.13 \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist. Nach Korollar 25.5 ist
\mathl{2^{1/3}}{} nicht konstruierbar, da $3$ keine Zweierpotenz ist.

}







\zwischenueberschrift{Die Quadratur des Kreises}





\inputfaktbeweis
{Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius $1$ quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge $\sqrt{\pi}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 25.4 muss aber eine konstruierbare Zahl \definitionsverweis {algebraisch}{}{} sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber $\pi$ und damit auch $\sqrt{\pi}$ \definitionsverweis {transzendent}{}{.}

}


Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl $\pi$ zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.




\inputbeispiel{}
{

Die einfachste Art, die Zahl $\pi$ geometrisch zu konstruieren, ist die \stichwort {Abrollmethode} {,} bei der man einen Kreis mit Durchmesser $1$ einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also $\pi$.







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi-unrolled-720.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Pi-unrolled-720.gif } {John Reid} {MGTom} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


}




\inputbeispiel{}
{

Man kann die Zahl $\pi$ auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.


}



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