Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 27/latex

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\setcounter{section}{27}






\zwischenueberschrift{Konstruierbare Einheitswurzeln}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Man sagt, dass \definitionswort {das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar}{} ist, wenn die komplexe Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} /n} }
{ =} {\cos \left( { \frac{ 2 \pi }{ n } } \right) + { \mathrm i} \sin \left( { \frac{ 2 \pi }{ n } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} ist.

}

Die Menge der komplexen Einheitswurzeln
\mathbed {e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} k } { n } }} {}
{k=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,} bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen $n$-Ecks, wobei $1$ eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke
\mathl{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} } { n } }}{} ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar. Bei
\mathl{n=1,2}{} kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen $n$-Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus $\Q$, also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach Beispiel 26.7, da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von $\Q$ ist \zusatzklammer {man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist} {} {.} Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten
\mathl{1,i,-1,-i}{,} und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in Beispiel 26.9 bzw. Aufgabe 26.9 gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen $n$-Ecken vorstellen.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.eps} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }

\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {PD} {en.wikipedia.org} {en:Image:Pentagon_construct.gif}






\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathbed {m=kn} {}
{m,k,n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Das regelmäßige $2^r$-Eck,
\mathl{r \in \N}{,} ist \definitionsverweis {konstruierbar}{}{.} }{Wenn das regelmäßige $m$-Eck konstruierbar ist, so sind auch das regelmäßige $n$-Eck und das regelmäßige $k$-Eck konstruierbar. }{Wenn \mathkor {} {n} {und} {k} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind und wenn das regelmäßige $n$-Eck und das regelmäßige $k$-Eck konstruierbar sind, so ist auch das regelmäßige $m$-Eck konstruierbar.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt daraus, dass eine Winkelhalbierung stets mit Zirkel und Lineal durchführbar ist.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2). Nach Voraussetzung ist
\mathl{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ nk } }}{} \definitionsverweis {konstruierbar}{}{.} Dann ist auch nach Satz 24.9 die Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ nk } } \right) }^n }
{ =} { e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ k } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} konstruierbar.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Seien nun \mathkor {} {e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ n } }} {und} {e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ k } }} {} konstruierbar und \mathkor {} {n} {und} {k} {} teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es dann ganze Zahlen
\mathl{r,s}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ rn+sk }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ n } } \right) }^s { \left( e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ k } } \right) }^r }
{ =} { { \left( e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} k } { nk } } \right) }^s { \left( e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} n } { nk } } \right) }^r }
{ =} { e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} sk } { nk } } e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} rn } { nk } } }
{ =} { e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} (sk+rn) } { nk } } }
{ =} { e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} }{ nk } } }
} {}{}{} konstruierbar.}
{}

}

Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen $3 \cdot 2^r$-Ecke, die regelmäßigen $5 \cdot 2^r$-Ecke und die regelmäßigen $15 \cdot 2^r$-Ecke für jedes $r$ konstruierbar sind.





\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Euler ist Zweierpotenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $n$ eine natürliche Zahl derart,}
\faktvoraussetzung {dass das regelmäßige $n$-Eck \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{\varphi (n)}}{} eine Zweierpotenz.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Voraussetzung besagt, dass die \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} } { n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist. Dann muss nach Korollar 25.5 der \definitionsverweis {Grad}{}{} des \definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} von $\zeta$ eine Zweierpotenz sein. Nach Korollar 26.14 ist das Minimalpolynom von $\zeta$ das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{,} und dieses hat den Grad
\mathl{{\varphi (n)}}{.} Also muss
\mathl{{\varphi (n)}}{} eine Zweierpotenz sein.

}







\zwischenueberschrift{Winkeldreiteilung}

Wir sind nun in der Lage, das Problem der Winkeldreiteilung zu beantworten.





\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Das regelmäßige 9-Eck ist nicht konstruierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Das regelmäßige $9$-Eck ist}
\faktfolgerung {nicht mit Zirkel und Lineal \definitionsverweis {konstruierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wäre das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar, so müsste nach Satz 27.3
\mathl{{\varphi (9)}}{} eine Zweierpotenz sein. Es ist aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\varphi (9)} }
{ = }{2 \cdot 3 }
{ = }{6 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels \definitionsverweis {Zirkel und Lineal}{}{} in drei gleich große Teile zu unterteilen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es genügt, einen \zusatzklammer {konstruierbaren} {} {} Winkel $\alpha$ derart anzugeben, dass
\mathl{\alpha/3}{} nicht konstruierbar ist. Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ = }{ 120^{\circ} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von $\Q$ liegen. Dagegen ist der Winkel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha/3 }
{ = }{ 120^{\circ}/3 }
{ = }{ 40^{\circ} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar wäre, was nach Korollar 27.4 aber nicht der Fall ist.

}


Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome beruht.





\inputfaktbeweis
{Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{F \in \Z[X]}{} ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 3$}
\faktvoraussetzung {ohne Nullstelle in $\Z$.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in
\mathl{\Q[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Fakt ***** und der Gradvoraussetzung genügt es zu zeigen, dass es keine Faktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{\Z[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (G) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben kann.  Sei also angenommen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{aX+b }
{ \in }{ \Z[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Teiler von $F$ ist. Der Leitkoeffizient $a$ teilt den Leitkoeffizienten von $F$, also $1$, daher muss
\mathl{a \in \Z}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} sein. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{\pm 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist
\mathl{\pm b}{} eine Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.

}


Einfache Beispiele wie
\mathl{F=(2X+1)^2}{} zeigen, dass ohne die Voraussetzung normiert die Aussage nicht stimmt. Dass ein ganzzahliges normiertes Polynom keine ganzzahligen Nullstellen besitzt, ist im Allgemeinen einfach zu zeigen. Für $n$ betragsmäßig groß kann man durch eine einfache Abschätzung zeigen, dass es dafür keine Nullstelle geben kann, und für $n$ in einem verbleibenden überschaubaren Bereich kann man durch explizites Ausrechnen feststellen, ob eine Nullstelle vorliegt oder nicht.






\inputbemerkung
{}
{

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel
\mathl{20^{\circ}}{} Grad nicht konstruieren kann \zusatzklammer {obwohl man
\mathl{60^{\circ}}{} Grad konstruieren kann} {} {.} Aufgrund der \stichwort {Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen} {} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha }
{ =} {4 \cos^3 \alpha -3 \cos \alpha }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (2 \cos 20^{\circ} )^3 - 3(2 \cos 20^{\circ}) -1 }
{ =} {2 { \left( 4 \cos^3 20^{\circ} - 3 \cos 20^{\circ} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } }
{ =} {2 { \left( \cos 60^{\circ} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } }
{ =} {0 }
{ } {}
} {}{}{.} Also wird
\mathl{2 \cos 20^{\circ}}{} vom Polynom
\mathl{X^3-3X-1}{} annulliert. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle und ist daher nach Lemma 27.6 irreduzibel. Also muss es nach Lemma 21.13 das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von
\mathl{2 \cos 20^{\circ}}{} sein. Daher kann
\mathl{2 \cos 20^{\circ}}{} nach Korollar 25.5 nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig
\mathl{\cos 20^{\circ}}{.}

}






\zwischenueberschrift{Fermatsche Primzahlen}

Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen $n$-Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} der Form
\mathl{2^{s}+1}{,} wobei $s$ eine positive \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} ist, heißt \definitionswort {Fermatsche Primzahl}{.}

}

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen
\mathdisp {3,5,17,257,65537} { }
überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt.





\inputfaktbeweis
{Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Bei einer \definitionsverweis {Fermatschen Primzahl}{}{}
\mathl{2^{s}+1}{} hat der Exponent die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{2^r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mathl{r \in \N}{.}

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{ 2^k u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $u$ ungerade. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^{2^ku}+1 }
{ =} { { \left( 2^{2^k} \right) }^{u} +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität \zusatzklammer {da $-1$ eine Nullstelle ist} {} {}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ X^{u}+1 }
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \ldots + X^2 - X +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^{2^k}+1 }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Teiler von
\mathl{2^{2^ku}+1}{.} Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}


Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.




\inputdefinition
{}
{

Eine Zahl der Form
\mathl{2^{2^r}+1}{,} wobei $r$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} ist, heißt \definitionswort {Fermat-Zahl}{.}

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pie_2.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Pie 2.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cake_quarters.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cake quarters.svg } {} {Acdx, R. S. Shaw} {Commons} {PD} {}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Luxembourg_Vianden_Nut-fair_10.eps} }
\end{center}
\bildtext {Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt.} }

\bildlizenz { Luxembourg Vianden Nut-fair 10.jpg } {} {PlayMistyForMe} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


\inputfaktbeweis
{Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt}
{Satz}
{}
{

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {2^\alpha p_1 \cdots p_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat, wobei die $p_i$ verschiedene \definitionsverweis {Fermatsche Primzahlen}{}{} sind.

}
{\teilbeweis {Wir zeigen nur die eine Richtung, dass bei einem konstruierbaren regelmäßigen $n$-Eck die Zahl $n$ die angegebene numerische Bedingung erfüllen muss.\leerzeichen{}}{}{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ 2^{\alpha} p_1^{r_1} { \cdots } p_k^{r_k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen
\mathbed {p_i} {}
{i=1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {,} und positiven Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{\alpha }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Nach Satz 27.3 muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ =} { 2^t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits gilt nach Korollar 15.6 die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ =} { 2^{\alpha-1} (p_1-1) p_1^{r_1-1} \cdots (p_k-1) p_k^{r_k-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \alpha }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Ausdruck $2^{\alpha-1}$ zu streichen} {} {.} Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ \zusatzklammer {oder $0$} {} {} auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt
\mathl{p=2^s+1}{} haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.

}
{}

\teilbeweis {}{}{}
{Für die andere Richtung muss man aufgrund von Lemma 27.2 lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl $p$ das regelmäßige $p$-Eck \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist. Dies haben wir für
\mathl{p=3,5}{} explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre $17$-Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen \zusatzklammer {bekannt oder nicht} {} {}

folgt die Konstruierbarkeit aus der Galoistheorie.}
{}}



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