Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 23/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Epimenides der Kreter sagte: „Alle Kreter sind Lügner“. Ist diese Aussage ein Widerspruch?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine Person sagt: „Ich lüge (jetzt)“. Kann das wahr sein?


Aufgabe Referenznummer erstellen

In der Russellsche Antinomie wird die Definition

betrachtet. Kann eine Menge sein?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Klasse 8c hat an jedem Wochentag eine Stunde mathematische Logik. Der Lehrer sagt am Freitag: „nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, und das wird eine Überraschung sein“. Begründe, dass der Lehrer lügt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Das Brennersche Putzparadoxon besagt: „Immer wenn ich putze, sieht es danach so aus, wie bei einer durchschnittlichen Hausfrau vor dem Putzen“. Ist dies ein Widerspruch, eine Antinomie, ein Paradoxon, oder einfach nur mangelndes Talent?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ist als neutrales Element der Addition und die ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ist die erste Primzahl, die ist die kleinste ungerade Primzahl, die ist die erste echte Quadratzahl, die ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Ableitungsprädikat. Zeige aus den in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für einen Fixpunkt mit

dass weder noch gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

  1. Welche Eigenschaften aus Bemerkung 23.7 gelten in ?
  2. Gilt

    in ?

  3. Welche der Ausdrücke gelten in ?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir setzen

und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei

wobei als die -fache Addition von mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien natürliche Zahlen und sei

wobei durch die -fache Summe der mit sich selbst realisiert werde. Zeige, dass es Sätze mit

und mit

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Folgere aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.


Aufgabe (6 Punkte)Aufgabe 23.17 ändern

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das Ableitungsprädikat zu und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

Zeige, dass aus den in Bemerkung 23.7 angeführten Eigenschaften man

erhalten kann, wobei ein beliebiger Ausdruck ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

Zu einem beliebigen Ausdruck betrachten wir . Welche der Ausdrücke

gelten in ?


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat.

  1. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.

  2. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.