Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 26/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für die Aussagenvariablen ${}p,q,r$ gelte

$a\vDash \neg p,q,r\,\,{\text{ und }}\,\,b\vDash \neg p,\neg q,r.$

Bestimme in beiden Weltpunkten die Wahrheitswerte von

1. ${}p\rightarrow \Box r$,
2. ${}\Box q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
3. ${}(p\vee \Box \Box r)\rightarrow \Diamond r$,
4. ${}\Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere die modallogische Verschachtelungstiefe für modallogische Ausdrücke.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass bei einer Belegung der Aussagenvariablen durch die Definition 26.2 der Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck in jedem Punkt eines modallogischen Modelles eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,R)$ der triviale Graph in dem Sinne, dass ${}M$ einpunktig ist und dieser Punkt mit sich in Relation steht. Zeige, dass

$(M,R)\vDash \alpha$

genau dann bei jeder Belegung gilt, wenn ${}\alpha$ nicht paradox ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$\Box (p\vee q)\rightarrow \Box p\vee \Box q$

nicht ableitbar ist (dabei seien ${}p,q$ Aussagenvariablen).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$

nicht ableitbar ist. Insbesondere lässt sich also Lemma 24.5  (1) nicht internalisieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$\Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige semantisch, dass eine ${}K$- Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema

$\vdash \alpha \leftrightarrow \Diamond ^{r}\alpha$

graphentheoretisch.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}r,s\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema

$\vdash \Diamond ^{r}\alpha \rightarrow \Diamond ^{s}\alpha$

graphentheoretisch.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für eine modallogische Aussage ${}\alpha$ die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${}S5\vdash \alpha$.
2. Es ist ${}(M,R)\vDash \alpha$ für jede Äquivalenzrelation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
3. Es ist ${}(M,R)\vDash \alpha$ für jede volle Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.

Aufgabe * Aufgabe 26.14 ändern

Zu einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck ${}\alpha$ setzen wir

${}M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$

Zeige

${}M(\Diamond \alpha )=\operatorname {Vorg} {\left(M(\alpha )\right)}\,.$

Aufgabe Aufgabe 26.15 ändern

Zu einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck ${}\alpha$ setzen wir

${}M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$

Zeige, dass

$(M,R,\mu )\vDash \alpha \rightarrow \beta$

genau dann gilt, wenn

${}M(\alpha )\subseteq M(\beta )\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Satz 26.10 mit Hilfe von Aufgabe 26.14 und Aufgabe 26.15 und mit geeigneten Charakterisierungen von relationstheoretischen Eigenschaften mit Vorgängermengen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Für die Aussagenvariablen ${}p,q,r$ gelte

$a\vDash \neg p,q,\neg r\,,b\vDash \neg p,\neg q,r\,,c\vDash \neg p,\neg q,r\,,d\vDash p,q,r.$

Bestimme in den vier Weltpunkten die Wahrheitswerte von

1. ${}\Diamond q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
2. ${}(p\vee \Box \Box \neg r)\rightarrow \Diamond (\neg p\rightarrow r)$,
3. ${}\Box \Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in jedem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ das Schema

$\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass das System S4 nicht äquivalent zum System S5 ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass aus dem ${}K$- modallogischen Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

nicht das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$

ableitbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige die folgenden modelltheoretischen Charakterisierungen für modallogische Axiomenschemata.

1. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Leerheitsaxiom genau dann, wenn die Relation ${}R$ leer ist (wenn es also gar keine Pfeile gibt).
2. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Autismusaxiom genau dann, wenn ${}R$ nur aus Schleifen besteht.
3. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Fatalismusaxiom genau dann, wenn ${}R$ genau aus allen Schleifen besteht.
4. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Phantasiearmutsaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt höchstens ein Pfeil ausgeht.
5. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Ideologieaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt genau ein Pfeil ausgeht.