Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 12 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Der
\stichwort {Index} {}
einer Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Die
\stichwort {Restklassengruppe} {}
zu einem Normalteiler
\mathl{H \subseteq G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Die \stichwort {Einheitengruppe} {} in einem Ring $R$.
}{Ein \stichwort {irreduzibles} {} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}
}{Eine \stichwort {quadratische} {} Körpererweiterung. }
}
{
\aufzaehlungacht{Ein Körper $K$ ist ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
wenn
\mathl{K \neq 0}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer}{}{,}
\definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,}
von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
}{Der Index ist die Anzahl der
\zusatzklammer {Links- oder Rechts} {-} {}\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
von $H$ in $G$.
}{Die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathdisp {G/H} { }
mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
}{Die Einheitengruppe in $R$ ist die Teilmenge aller
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $R$.
}{Eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
$p$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung
\mathl{p=ab}{} nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
}{Die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
\aufzaehlungdrei{$\varphi(a+b)= \varphi(a) + \varphi(b)$
}{$\varphi(1)=1$
}{$\varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b)$.
}
}{Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{} für Elemente
\mathl{a,b \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.}{Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.}{Das
\stichwort {Lemma von Bezout} {}
für einen Hauptidealbereich $R$.}{Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik
\mathl{\neq 2}{.}}
}
{
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { . }
}{Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.}{Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in R}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mathl{r_1 , \ldots , r_n \in R}{} mit
\mathl{r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n=d}{.}}{Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein
\mathbed {x \in L} {,}
{x \notin K} {und}
{x^2 \in K} {} {} {.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{
Eine ungerade Zahl $n$ besitzt die Form
\mathl{n=2k+1}{} mit einer ganzen Zahl
\mathl{k}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 25n^2-17
}
{ =} { 25 (2k+1)^2 -17
}
{ =} { 25 (4k^2+4k+1 ) -17
}
{ =} {25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +25 -17
}
{ =} { 25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +8
}
}
{}
{}{.}
Die $8$ hinten ist ein Vielfaches von $8$. Genau eine der beiden Zahlen
\mathkor {} {k} {und} {k+1} {}
ist gerade, also von der Form $2 m$. Daher ist
\mathl{4 \cdot k(k+1)}{} ein Vielfaches von $8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von $8$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{
Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Primzahl vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{x,y \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx
}
{ \subseteq} {Ry
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {$x$ teilt $y$.
}{$x$ wird von $y$ geteilt.
}{$y$ wird von $x$ geteilt.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $y$.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $x$.
} } {\itemfuenf {$y$ teilt $x$.
}{$Rx \cap Ry = Rx$.
}{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$.
}{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$.
}{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
} }
}
{
Richtig sind
\mathl{2), 4), 6), 7), 9)}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da
\mathl{q= \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor =0}{} ist und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {\lfloor 1 \rfloor
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor + \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {0+0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{
Wenn $g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
liegt, so liegt $g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung
\mathl{\leq d}{} und nach
dem Satz von Lagrange
ist die Ordnung von $g$ ebenfalls
\mathl{\leq d}{.} Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen $d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.
Es sei umgekehrt $d$ die Ordnung von $g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z} {G
} {n} {g^n
} {,}
besitzt den Kern
\mathl{\Z d}{.} Aufgrund
des Satzes vom induzierten Homomorphismus
induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
und $g$ gehört dabei zum Bild.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4-1
}
{ =} {(X^2-1)(X^2+1)
}
{ =} {(X+1)(X-1)(X^2+1)}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{} und $X^2+1 \in \Q[X]$ ist irreduzibel, da es keine rationale Nullstelle besitzt. Es handelt sich also um die Primfaktorzerlegung, wobei die Faktoren paarweise nicht assoziiert sind, da sie ja alle normiert sind. Nach dem chinesischen Restsatz für Hauptidealbereiche gilt daher die Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[X]/(X^4-1)
}
{ \cong} {\Q[X]/(X+1) \times \Q[X]/(X-1) \times \Q[X]/(X^2+1)
}
{ \cong} { \Q \times \Q \times \Q[ { \mathrm i}]
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,} wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen die Einsetzungen $X\mapsto -1$ und $X \mapsto 1$ und die Isomorphie $\Q[X]/(X^2+1) \cong \Q[ { \mathrm i} ]$ verwendet haben. Das Element $X^3+X=X(X^2+1)$ wird unter den drei Projektionen auf $-2,2$ und $0$ abgebildet, es ist also gleich
\mathdisp {(-2,2,0)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{
(a) $(1,0,0)$
- Alle Vielfachen von
\mathl{5 \cdot 7=35}{} haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel
\mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel
\mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel
\mathl{(0,0,1)}{.}
(b) Man schreibt
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,4,3)
}
{ =} {2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 70 +4 \cdot 21 +3 \cdot 15
}
{ =} { 140+84+45
}
{ =} {269
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die minimale Lösung ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 269- 2 \cdot 105
}
{ = }{ 59
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.
}
{
Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}} {\R
} {}
gebe. Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( { \mathrm i}) \cdot \varphi( { \mathrm i})
}
{ =} { \varphi ( { \mathrm i} \cdot { \mathrm i})
}
{ =} { \varphi(-1)
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $\R$ sind aber alle Quadrate positiv und $-1$ besitzt keine Quadratwurzel, so dass ein Widerspruch vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Finde die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X^p -1 } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p-1
}
{ =} {( X-1 ) (X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der zweite Faktor ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
nach
Lemma 27.12.
Nach
Korollar 18.5
muss es daher eine Darstellung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ X^p-1 } }
}
{ =} { { \frac{ a }{ X-1 } } + { \frac{ b_{p-2} X^{p-2} +b_{p-3} X^{p-3} + \cdots + b_2 X^2 +b_1X + b_0 }{ X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} { a { \left( X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1 \right) } + (X-1) { \left( b_{p-2} X^{p-2} +b_{p-3} X^{p-3} + \cdots + b_2 X^2 +b_1X + b_0 \right) }
}
{ =} { (a+b_{p-2} ) X^{p-1} + (a + b_{p-3} -b_{p-2}) X^{p-2} + (a + b_{p-4} -b_{p-3}) X^{p-3} + \cdots + (a +b_1 -b_2) X^2 + (a +b_0 -b_1) X +(a-b_0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b_{p-2}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
für jedes
\mathl{i=2 , \ldots , p-1}{} ist
\zusatzklammer {der Koeffizient zu
\mathl{X^{p-i}}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a + b_{ p-i-1} - b_{p-i}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a -b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Addition der ersten $i$ Bedingungen erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ia + b_{p-1-i}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i=1 , \ldots , p-1}{.} Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(p-1)a + b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b_0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ p } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_{p-i-1}
}
{ =} { - { \frac{ i }{ p } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Partialbruchzerlegung ist demnach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ X^p-1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ p } } }{ X-1 } } + { \frac{ - { \frac{ 1 }{ p } } X^{p-2} - { \frac{ 2 }{ p } } X^{p-3} - \cdots - { \frac{ p-3 }{ p } } X^2 - { \frac{ p-2 }{ p } } X - { \frac{ p-1 }{ p } } }{ X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{
Der endliche Körper kann nicht die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach
Fakt *****
nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper
\mathl{\Z/(p)}{} enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{,} und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann hat man eine
\mathl{\Z/(p)}{-}Vektorraumisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \cong} {(\Z/(p))^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit besitzt $K$ gerade $p^n$ Elemente.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.
}
{
Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $K$, und darin ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ K1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein eindimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Nach
dem Basisergänzungssatz
gibt es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathkor {} {1} {und} {y} {}
eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {a+by
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, bzw.
\zusatzklammer {da $2$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist} {} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { y^2-by-a
}
{ =} { { \left( y- { \frac{ b }{ 2 } } \right) }^2-{ \frac{ b^2 }{ 4 } } - a
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Mit
\mathl{x=y- { \frac{ b }{ 2 } }}{} gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2
}
{ = }{ { \frac{ b^2 }{ 4 } } + a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathkor {} {1} {und} {x} {}
bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{12 (3+1+6+2)}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe auch eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.
b) Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form
\mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {}
mit
\mathl{m,n\in \Q}{} eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl
\mathl{x \in \Q}{} besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mathl{k,m,n \in \Q}{} besitzt.
d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Wegen
\mathl{\sqrt[3]{p} \notin \Q}{} besitzt das Polynom
\mathl{X^3 -p}{} keine Nullstelle in $\Q$. Daher ist es
nach Lemma 6.9
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
und somit ist
\mathl{X^3-p}{} nach
Lemma 23.2
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
und somit besitzt die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{p}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad $3$. Eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
ist durch
\mathl{1, \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{p}^2}{} gegeben.
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (m \sqrt[3]{p} )^3
}
{ =} { m^3 p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n (\sqrt[3]{p})^2 )^3
}
{ =} { n^3 p^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Eine dritte Potenz in
\mathl{\Q[\sqrt[3]{p}]}{} besitzt die Form
\mathl{y^3}{} mit
\mathl{y \in \Q[\sqrt[3]{p}]}{.} Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { a+b \sqrt[3]{p} +c \sqrt[3]{p}^2
}
{ =} { a+b p^{1/3} +c p^{2/3}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a,b,c \in \Q}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^3
}
{ =} { r + s p^{1/3} + t p^{2/3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { a^3 +b^3p +c^3 p^2 +6 abc p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { 3a^2b +3 b^2 c p + 3a c^2 p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { 3a^2c + 3ab^2 + 3 bc^2 p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{y^3 \in \Q}{} müssen die beiden hinteren Komponenten $0$ sein, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {t
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {bs -at
}
{ =} { 3b^3 c p -3 a^3c
}
{ =} { 3 c ( b^3 p-a^3 )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei zuerst der hintere Faktor $0$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müsste
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} { { \left( { \frac{ a }{ b } } \right) }^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus
\mathkor {} {a=0} {oder} {b= 0} {.}
In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten
\mathl{a,b,c}{} gleich $0$. Die zugehörigen dritten Potenzen sind
\mathdisp {a^3, b^3 p, c^3 p^2} { }
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{p}]
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{p} , \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Teil b) ist
\mathl{\sqrt[3]{q} \notin \Q[ \sqrt[3]{p}]}{.} Somit ist
\mathl{X^3 - q}{} irreduzibel über
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q[ \sqrt[3]{p}]
}
{ =} { \Q[ \sqrt[3]{p} ] [ \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad $3$. Nach der
Gradformel
besitzt die Gesamterweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{p} ] [ \sqrt[3]{q} ]
}
{ =} { \Q[ \sqrt[3]{p} , \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 \cdot 3
}
{ = }{9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X+1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{
Nach
Lemma 6.9
genügt es zu zeigen, dass
\mathl{X^3-3X+1}{} keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle ist mit
\mathl{a,b \in \Z}{} in gekürzter Darstellung. Es gilt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ a }{ b } } \right) }^3 - 3{ \frac{ a }{ b } } +1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^3 - 3ab^2 +b^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn eine Primzahl $p$ die Zahl $a$ teilt, folgt daraus, dass auch $b$ von $p$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also muss $a$ eine Einheit sein. Wenn $b$ von einer Primzahl $p$ geteilt wird, so wäre auch $a$ ein Vielfaches von $p$. Also ist auch $b$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten
\mathl{a,b = \pm 1}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $n$ eine zu
\mathl{360}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{
Wegen der Teilerfremdheit gibt es ganze Zahlen
\mathl{r,s}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rn+ s 360
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn der Winkel $n^{\circ}$ konstruierbar wäre, so könnte man diese Konstruktion $\betrag { r }$ mal aneinander anlegend durchführen und würde den Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} erhalten. Dieser entspricht aber dem Winkel $1^{\circ}$ und dieser wäre dann ebenfalls konstruierbar. Dann wäre das regelmäßige $360$-Eck konstruierbar. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{360
}
{ =} { 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies aber nicht der Fall.
}