Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 11

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen ${}f,g$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch ${}f+g$ und ${}f\cdot g$ elliptisch sind.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion ${}f\neq 0$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch ${}f^{-1}$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion ${}f$ (bezüglich ${}\Gamma$) auch die Ableitung ${}f'$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion ${}f$ (bezüglich ${}\Gamma$) eine eindeutige Zerlegung ${}f=g+h$ mit einer geraden elliptischen Funktion ${}g$ und einer ungeraden elliptischen Funktion ${}h$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

für eine komplexe Zahl ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die Familie

$w^{-2},\,w\in \Gamma '$

nicht summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

${}f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$

ungerade ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

${}f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$

in den Punkten ${}{\frac {v_{1}}{2}},{\frac {v_{2}}{2}},{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}},$ eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche ${}{\left\{sv_{1}+tv_{2}\mid 0\leq s,t<1\right\}}$ die einzigen Nullstellen sind.