Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 11

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen $f,g$ (bezüglich $\Gamma$) auch $f+g$ und $f\cdot g$ elliptisch sind.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion  $f\ne 0$  (bezüglich $\Gamma$) auch $f^{-1}$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion $f$ (bezüglich $\Gamma$) auch die Ableitung $f^{\prime }$ elliptisch ist.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion $f$ (bezüglich $\Gamma$) eine eindeutige Zerlegung  $f=g+h$  mit einer geraden elliptischen Funktion $g$ und einer ungeraden elliptischen Funktion $h$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

für eine komplexe Zahl $s$ mit  $\mathrm{Re}\left(s\right)>1$  absolut konvergiert.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass die Familie

$w^{-2},w\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$

nicht summierbar ist.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

$f(z)=\sum _{v\in \mathrm{\Gamma }}(z-v{)}^{-3}$

ungerade ist.

Aufgabe

Es sei  $\mathrm{\Gamma }=⟨v_1,v_2⟩\subseteq ℂ$  ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion

$f(z)=\sum _{v\in \mathrm{\Gamma }}(z-v{)}^{-3}$

in den Punkten $\frac{v_1}{2},\frac{v_2}{2},\frac{v_1+v_2}{2},$ eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche $\{s{v}_1+t{v}_2\mid 0\le s,t<1\}$ die einzigen Nullstellen sind.