Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 11

Wir möchten zeigen, dass sich ein eindimensionaler komplexer Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ als eine glatte kubische projektive Kurve algebraisch realisieren lässt. Dazu müssen wir meromorphe Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ studieren, die wiederum von meromorphen Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$ herrühren, die das Gitter berücksichtigen.

Elliptische Funktionen

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt elliptisch bezüglich ${}\Gamma$ oder ${}\Gamma$-doppeltperiodisch, wenn

${}f(z)=f(z+v)\,$

für alle ${}v\in \Gamma$ gilt.

Es genügt natürlich zu zeigen, dass

${}f(z)=f(z+v_{1})=f(z+v_{2})\,$

für zwei Erzeuger ${}v_{1},v_{2}$ des Gitters (und alle ${}z$) gilt. Diese Erzeuger sind die Perioden, die die Bezeichnung doppeltperiodisch rechtfertigen. Diese Eigenschaft hängt wesentlich von dem gegebenen Gitter ab, es stellt sich aber bald heraus, dass die doppeltperiodischen Funktionen strukturelle Eigenschaften erfüllen, die für alle Gitter gleich sind. Eine doppeltperiodische Funktion ist auf einem Fundamentalbereich des Gitters, beispielsweise einer Fundamentalmasche, eindeutig bestimmt.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich ${}\Gamma$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.

Es ist einfach zu zeigen (vergleiche Aufgabe 11.1 und Aufgabe 11.2), dass dies in der Tat ein Körper ist. Es ist deutlich schwieriger, die Menge der elliptischen Funktionen explizit zu bestimmen. Zunächst ist keineswegs klar, dass es außer den konstanten Funktionen überhaupt elliptische Funktionen gibt.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist jede ${}\Gamma$- elliptische Funktion, die holomorph ist, konstant.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters. Diese ist kompakt und die holomorph Funktion ${}f$ ist darauf nach Satz Anhang. (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 81.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) beschränkt. Da ${}f$ elliptisch ist, ist ${}f(z)=f(z-v)$ mit ${}v\in \Gamma$ und ${}z-v\in {\mathfrak {M}}$. Daher ist ${}f$ auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ beschränkt und daher nach dem Satz von Liouville konstant.

$\Box$

Wir beweisen drei fundamentale Lemmas über elliptische Funktionen, aus denen später die Charakterisierung aller elliptischen Funktionen (siehe insbesondere Lemma 11.13 und Satz 12.11) und die algebraische Realisierung eines komplexen Torus (siehe Satz 12.14) folgt.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ und es sei ${}f$ eine elliptische Funktion. Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}f$ auf dem Rand von ${}P+{\mathfrak {M}}$ polstellenfrei ist.

Dann ist die Summe der Residuen von ${}f$ auf ${}P+{\mathfrak {M}}$ gleich ${}0$.

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei ${}\gamma$ ein Weg, der den Rand von ${}P+{\mathfrak {M}}$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann ist nach Satz 23.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) die Summe der Residuen gleich ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz$. Der Weg ${}\gamma$ besteht aus den vier linearen Teilwegen von ${}P$ nach ${}P+v_{1}$, von ${}P+v_{1}$ nach ${}P+v_{1}+v_{2}$, von ${}P+v_{1}+v_{2}$ nach ${}P+v_{2}$ und von ${}P+v_{2}$ nach ${}P$. Da ${}f$ elliptisch ist, ist insbesondere ${}f(P+tv_{1})=f(P+tv_{1}+v_{2})$ und ${}f(P+v_{1}+sv_{2})=f(P+sv_{2})$. D.h. die Integranden auf den gegenüberliegenden Teilwegen stimmen überein. Da sie unterschiedlich orientiert durchlaufen werden, ist das Gesamtergebnis gleich ${}0$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ und es sei ${}f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}f$ auf dem Rand von ${}P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.

Dann ist die Summe der Ordnungen von ${}f$ auf ${}P+{\mathfrak {M}}$ gleich ${}0$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 11.4 angewendet auf die elliptische Funktion ${}{\frac {f'}{f}}$ unter Verwendung von Lemma 19.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ und es sei ${}f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}f$ auf dem Rand von ${}P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.

Dann ist

${}\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w\in \Gamma \,$

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei ${}\gamma$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Umrandung von ${}P+{\mathfrak {M}}$ mit den linearen Teilwegen wie im Beweis zu Lemma 11.4. Wir betrachten die Funktion ${}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}$ auf ${}P+{\mathfrak {M}}$. Nach Korollar 19.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) und dem Residuensatz ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w\\&=\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {Res} _{w}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}+v_{2}}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\right)}.\,\end{aligned}}$

Wir verarbeiten das zweite und das vierte Integral, indem wir auf das zweite Integral die lineare Substitution ${}z\mapsto z+v_{1}$ anwenden. Dabei erhalten wir unter Verwendung der Periodizität und der Umkehrung des Weges

${}{\begin{aligned}\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z+v_{1})}{f(z+v_{1})}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z)}{f(z)}}dz-\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=v_{1}\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.\end{aligned}}$

Entsprechend ergibt das erste und das dritte Integral ${}-v_{2}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$. Nach Lemma 23.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$ ganzzahlig. Daher ist ${}\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w$ eine ganzzahlige Kombination von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$, gehört also zum Gitter.

$\Box$

Die Weierstraßfunktion

Wir setzen ${}\Gamma '=\Gamma \setminus \{0\}$.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}s>2$ eine reelle Zahl.

Dann ist die Familie

$v^{-s},\,v\in \Gamma '$

summierbar.

Beweis

Die Familie ist genau dann summierbar, wenn die Familie ${}\vert {v}\vert ^{-s}$ summierbar ist. Die Aussage kann man auf das Standardgitter zurückführen. Wir betrachten zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die endlichen Teilfamilien (Quadrat mit Seitenlänge ${}2n$)

$\sum _{\max(\vert {a}\vert ,\vert {b}\vert )=n}\vert {a+b{\mathrm {i} }}\vert ^{-s}.$

Diese besteht aus

${}2(2n+1)+2(2n-1)=8n\,$

Summanden und diese sind ${}\leq n^{-s}$. Die Summe ${}a_{n}$ dieser Teilfamilie ist also

${}\leq 8n\cdot n^{-s}=8n^{1-s}\,,$

wobei der Exponent ${}<-1$ ist. Die Summe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}$ existiert also nach Aufgabe 11. und daher ist nach dem großen Umordnungssatz die Ausgangsfamilie summierbar.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die meromorphe Funktion

${}f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$

elliptisch und besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung ${}-3$.

Beweis

Die Konvergenz für ${}z\notin \Gamma$ folgt aus Lemma 11.7 durch eine geeignete Abschätzung. Daraus folgt auch die Holomorphie auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$: Wir schreiben

${}f_{n}:=\sum _{v\in \Gamma ,\,\vert {v}\vert \leq n}(z-v)^{-3}\,,$

diese Folge konvergiert außerhalb der Gitterpunkte nach Lemma 11.7 lokal gleichmäßig und daher ist die Grenzfunktion ${}f$ nach Satz 24.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) holomorph. In ${}z_{0}\in \Gamma$ ist ${}\sum _{v\in \Gamma ,\,v\neq z_{0}}(z-v)^{-3}$ konvergent und die Polordnung ist durch den fehlenden Term ${}(z-z_{0})^{-3}$ festgelegt. Die Funktion ${}\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$ ist elliptisch, da sich die Summe nicht ändert, wenn man ${}z$ durch ${}z-v_{0}$ mit einem ${}v_{0}\in \Gamma$ ersetzt.

$\Box$

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

$\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$

die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zum Gitter ${}\Gamma$.

Wir werden gleich begründen, dass diese Funktion auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ holomorph und in ${}\Gamma$ meromorph ist.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion ${}\wp$ elliptisch. Sie besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung ${}-2$. Ihre Ableitung ist ${}\wp '(z)=-2\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$.

Beweis

Die Ableitung der Summanden ${}{\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}$ für ${}v\in \Gamma '$ ist ${}-2{\frac {1}{(z-v)^{3}}}$. Ferner ist ${}-2{\frac {1}{z^{3}}}$ die Ableitung des allerersten Summanden. Die summandenweise genommene Ableitung ist also bis auf den Faktor ${}-2$ die Funktion ${}\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$, die nach Lemma 11.8 elliptisch ist. Damit ist ${}\wp (z)$ meromorph mit der angegebenen Poleigenschaft. Ferner ist die Funktion gerade, da ihre Ableitung ungerade ist. Zum Nachweis, dass ${}\wp (z)$ selbst elliptisch ist, sei ${}v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters. Dann ist

${\frac {\partial (\wp (z+v_{0})-\wp (z))}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$

und ${}\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Mit ${}z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ergibt sich, dass der Wert dieser Funktion gleich

${}\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}=0\,$

ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann nimmt die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zu ${}\Gamma$ auf der halboffenen Grundmasche jeden Wert (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.

Beweis

Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$, wir betrachten die Funktion ${}\wp (z)-w$, es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenen kompakten Masche

${}{\mathfrak {N}}=P+{\mathfrak {M}}\,$

nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man ${}P$ so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in ${}{\mathfrak {N}}$ nach Lemma 11.10 genau eine Polstelle mit der Ordnung ${}-2$. Nach Lemma 11.5 muss es zwei Nullstellen mit Ordnung ${}1$ oder eine Nullstelle mit der Ordnung ${}2$ geben.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei ${}f\neq 0$ eine gerade elliptische Funktion. Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit ${}2w\in \Gamma$.

Dann ist die Ordnung von ${}f$ in ${}w$ gerade.

Beweis

Die Bedingung ${}2w\in \Gamma$ ist zu ${}w=-w\mod \Gamma$ äquivalent. Für jede elliptische Funktion ${}g$ gilt daher ${}g(w)=g(-w)$. Es sei ${}f$ eine gerade elliptische Funktion ${}\neq 0$. Durch Übergang zu ${}{\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass ${}f$ in ${}w$ holomorph ist. Aus ${}f(z)=f(-z)$ folgt mit Aufgabe 11., dass die Ableitungen von ${}f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für ${}k$ ungerade hat man dann einerseits ${}f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$ und andererseits ${}f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$, also ${}f^{(k)}(w)=0$. Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.

$\Box$

Für die Weierstraßsche Funktion ${}\wp$ bedeutet dies, dass die Ordnung in den Punkten ${}w$ mit ${}2w\in \Gamma$, ${}w\notin \Gamma$, gleich ${}2$ ist, und in allen anderen Punkten gleich ${}1$.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in ${}\wp$ und ${}\wp '$ schreiben.

Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe 11.4. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit ${}\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion in ${}\wp$ ist.

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${}{\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${}{\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte ${}\neq 0$ in ${}{\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von ${}f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion

${}g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$

wobei ${}r_{i}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$ ist, es sei denn, dass ${}2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist ${}r_{i}$ die Hälfte der nach Lemma 11.12 geraden Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie ${}f$, da ${}\wp (z)-\wp (a)$ in ${}a$ die Ordnung ${}1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte ${}a$ mit ${}2a\in \Gamma$, wo die Ordnung ${}2$ ist. Aus Lemma 11.5 folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${}{\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Lemma 11.3 konstant. Daher ist ${}f\in {\mathbb {C} }(\wp )$, da ${}g$ nach Konstruktion dazugehört.

$\Box$

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