Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 12

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Gitter in und sei . Es sei . Zeige


Aufgabe

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit bis zur fünften Ordnung durch einen Potenzreihenansatz (es seien und ).


Aufgabe

Es sei ein Gitter in und die zugehörige Weierstraßsche Funktion . Drücke als rationale Kombination in und aus.


Aufgabe

Es sei ein Gitter in . Zeige, dass es zu jeder elliptischen Funktion eine rationale Funktion

derart gibt, dass

mit aus Satz 12.13 gilt.


Aufgabe

Es sei ein Gitter in mit dem Torus und der zugehörigen elliptischen Kurve aus Satz 12.14. Zeige, dass die Festlegungen in Definition 12.4 und Definition 12.5 mit den Festlegungen in Definition 5.7 und Definition 5.8 übereinstimmen.


Aufgabe

Führe den Beweis zu Satz 12.14 für die projektiven Geraden der Form durch.


Aufgabe

Zeige, dass für streckungsäquivalente Gitter in die zugehörigen komplexen Tori isomorph sind.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über . Skizziere die Möglichkeiten, wie auf liegen kann (vergleiche Aufgabe 6.5 und Aufgabe 6.6).

Es ist nicht einfach, dem Gitter anzusehen, ob es zu einer elliptischen Kurve über (oder über führt).


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