Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 12

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ . Es sei ${}s>2$ . Zeige

{}\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2},\,(m,n)\neq (0,0)}(mu+nv)^{-s}=\sum _{(k,\ell )\in \mathbb {Z} ^{2},\,(k,\ell )\neq (0,0)}(k(au+bv)+\ell (cu+dv))^{-s}\,.

Aufgabe *

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

{}z'={\sqrt {z^{3}+az+b}}\,

mit ${}z(0)=0$ bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz (es seien ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}b>0$ ).

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ und ${}\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Drücke ${}\wp ^{\prime \prime }$ als rationale Kombination in ${}\wp$ und ${}\wp '$ aus.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ . Zeige, dass es zu jeder elliptischen Funktion ${}f$ eine rationale Funktion

h\colon V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}

derart gibt, dass

{}f=h\circ \psi \,

mit ${}\psi$ aus Satz 12.13 gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ mit dem Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und der zugehörigen elliptischen Kurve aus Satz 12.14. Zeige, dass die Festlegungen in Definition 12.4 und Definition 12.5 mit den Festlegungen in Definition 5.7 und Definition 5.8 übereinstimmen.

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