Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz

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Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei eine auf einem Gebiet mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten holomorphe Funktion und ein in nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von trifft. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Die Summe ist endlich, da nur endlich viele Punkte der diskreten Menge umlaufen kann, seien etwa die Punkte in für die gilt. Es bezeichne die übrigen Punkte von Dann ist auch nullhomolog in (nach der Definition von ). Für sei

der Hauptteil der Laurententwicklung von um . Es ist eine auf holomorphe Funktion, die Funktion

ist auf holomorph fortsetzbar (die sind für hebbare Singularitäten). Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy folgt

also ist, nach Definition von ,

Für ist nun

nach Definition der Umlaufzahl. Es folgt, dass

und das war die Behauptung.

Fragen zum Residuensatz[Bearbeiten]

  • Sei eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten in ), Warum umrundet der Zyklus nur endlich viele Pole?

Anwendungen[Bearbeiten]