Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral

Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion mit ihrer Vielfachheit. Genauer:

Nullstelle der Ordnung n

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f:U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $z_{o}\in U$. $f$ hat in $z_{o}$ eine Nullstelle der Ordnung $n\in \mathbb {N}$, wenn eine holomorphe Funktion $g:U\to \mathbb {C}$ existiert, mit:

$g(z_{o})\not =0\,\wedge \,f(z)=(z-z_{o})^{n}\cdot g(z)$.

Polstelle der Ordnung n

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f:U\setminus \{z_{o}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $z_{o}\in U$. $f$ hat in $z_{o}$ eine Polstelle der Ordnung $n\in \mathbb {N}$, wenn eine holomorphe Funktion $g:U\to \mathbb {C}$ existiert, mit:

$g(z_{o})=w_{o}\in \mathbb {C} \,\wedge \,f(z)=(z-z_{o})^{-n}\cdot g(z){\mbox{ mit }}z\in U\setminus \{z_{o}\}$.

Aufgaben

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f:U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $z_{o}\in U$. Ferner habe $f$ in $z_{o}$ eine Nullstelle der Ordnung $n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n

Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für $z\in U$

${\frac {f'(z)}{f(z)}}=$

Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n

Begründen Sie, warum für den Term ${\frac {g'(z)}{g(z)}}$ eine Umgebung $D_{\varepsilon }(z_{o})\subset U$ existiert in der ${\frac {g'}{g}}$ keine Singularitäten besitzt.

Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n

Begründen Sie, warum ${\frac {g'}{g}}$ nicht notwendigerweise auf ganz $U\subseteq \mathbb {C}$ definiert sein muss.

Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n

Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern:

$\displaystyle \int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{o})}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz=...$

und

$\displaystyle \int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{o})}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=...$

Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n

Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung $n\in \mathbb {N}$ und berechnen Sie wieder die Integrale:

$\displaystyle \int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{o})}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz=...$

und

$\displaystyle \int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{o})}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=...$

Aussage

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f\in {\mathcal {M}}(U)$. Sei $N(f)$ die Menge der Null- und $P(f)$ die Menge der Polstellen von $f$. Sei$\Gamma \in C(U)$ ein Zyklus der jede Null- und jede Polstelle von $f$ genau einmal im positiven Sinn umläuft, d. h. es ist $n(\Gamma ,z)=1$ für jedes $z\in N(f)\cup P(f)$. Wir setzen für $z\in N(f)\cup P(f)$:

$o_{z}(f):=\left\{{\begin{array}{rr}m&z\ {\textrm {ist}}\ {\textrm {Nullstelle}}\ m{\textrm {-ter}}\ {\textrm {Ordnung}}\\-m&z\ {\textrm {ist}}\ {\textrm {Pol}}\ m{\textrm {-ter}}\ {\textrm {Ordnung}}\end{array}}\right.$

Dann ist

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{z\in N(f)\cup P(f)}o_{z}(f).$

Beweis

Für jedes $z_{0}\in N(f)\cup P(f)$ gibt es dann eine Umgebung $U_{z_{0}}$ und ein holomorphes $g_{z_{0}}\colon U_{z_{0}}\to \mathbb {C}$ so dass $g_{z_{0}}(z_{0})\neq 0$, $U_{z_{0}}\cap (N(f)\cup P(f))=\{z_{0}\}$ und

$f(z)=(z-z_{0})^{o_{z_{0}}(f)}g_{z_{0}}(z)\qquad (\star )$

gilt.

Beweis 1: Holomorphie und Anwendung Residuensatz

Der Integrand ist überall in $U$ mit Ausnahme von möglicherweise $N(f)\cup P(f)$ holomorph. Nach dem Residuensatz genügt es, die Residuen von $f$ in den Punkten von $N(f)\cup P(f)$ zu berechnen:

Beweis 2: Residuum für Nullstellen/Polstellen

Sei $z_{0}\in N(f)\cup P(f)$, dann erhalten wir, wenn wir $(\star )$ differenzieren, dass

$f'(z)=o_{z_{0}}(f)(z-z_{0})^{o_{z_{0}}(f)-1}g_{z_{0}}(z)+(z-z_{0})^{o_{z_{0}}(f)}g_{z_{0}}'(z),\qquad z\in U_{z_{0}}$

also ist für $z$ nahe bei $z_{0}$:

${\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {o_{z_{0}}(f)}{z-z_{0}}}+{\frac {g'_{z_{0}}(z)}{g_{z_{0}}(z)}},z\in U_{z_{0}}$ mit

Beweis 3: Anwendung Residuensatz

Der zweite Summand ist holomorph, also ist $z_{0}$ ein Pol erster Ordnung von $f'/f$ und

$\mathrm {res} _{z_{0}}{\frac {f'}{f}}=o_{z_{0}}(f)$

Die Behauptung folgt mit dem Residuensatz.

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