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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 17

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Übungsaufgaben

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine hebbare Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung gilt.



Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass für -wertige stetige Funktionen auf durch , falls es eine diskrete Teilmenge derart gibt, dass

gilt, eine Äquivalenzrelation gegeben ist.



Es sei ein Gebiet, sei eine diskrete Teilmenge und eine holomorphe Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist eine meromorphe Funktion auf .
  2. Für jede offene Teilmenge ist die holomorphe Funktion meromorph auf .
  3. Es gibt eine offene Überdeckung derart, dass die holomorphen Funktionen meromorph sind auf .



Es sei eine meromorphe Funktion auf und sei ein Punkt. Zeige, dass es eine offene Umgebung und eine holomorphe Funktion auf und ein derart gibt, dass gilt.



Es sei ein Gebiet und sei eine meromorphe Funktion. Zeige, dass es eine offene Überdeckung und holomorphe Funktionen

mit derart gibt, dass mit auf außerhalb einer diskreten Teilmenge übereinstimmt.



Es sei ein Gebiet und sei eine meromorphe Funktion mit endlich vielen Polstellen. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion

und ein Polynom mit

gibt.



Zeige, dass es zu jeder meromorphen Funktion auf einer offenen Menge eine minimale diskrete Teilmenge derart gibt, dass auf holomorph ist.



Es sei eine meromorphe Funktion auf einem Gebiet . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.



Zeige, dass zu einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge auch die Ableitung meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?



Es sei eine offene Kreisscheibe und . Es sei eine meromorphe Funktion auf und seien meromorphe Funktionen auf . Es erfülle die Ganzheitsgleichung

auf . Zeige, dass auf ganz meromorph ist.



Es sei und sei der Ring der Keime der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von definiert sind. Zeige, dass der Quotientenkörper von ist.



Es sei und sei der Körper der Keime von meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von definiert sind. Zeige, dass die Ordnung

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist ein holomorpher Keim genau dann, wenn

    gilt.



Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .



Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .



Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .



Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der meromorphen Funktion .



Es sei eine auf einer offenen Teilmenge definierte meromorphe Funktion, und sei .

  1. Zeige, dass der Hauptteil von in mit der Ableitung des Hauptteiles von in übereinstimmt.
  2. Zeige, dass der Nebenteil von in mit der Ableitung des Nebenteiles von in übereinstimmt.


Es sei ein Körper. Einen Ausdruck der Form mit und einem nennt man (formale) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil



Es sei ein Körper. Definiere auf der Menge der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über eine Addition und eine Multiplikation, die für formale Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation übereinstimmen.



Es sei ein Körper und sei der formale Potenzreihenring über . Zeige, dass die Menge der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über mit der natürlichen Addition und Multiplikation der Quotientenkörper vom formalen Potenzreihenring ist.



Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen von Ringen vorliegen, und dass in der zweiten Zeile die Quotientenkörper der ersten Zeile stehen (dabei bezeichnet den Ring der Keime der meromorphen Funktionen und den Ring der formalen Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Gebiet und es seien meromorphe Funktionen auf . Es sei die Menge der Polstellen von oder von . Die Übereinstimmungsmenge habe einen Häufungspunkt in . Zeige .


Zur folgende Aufgabe vergleiche man Korollar 19.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien holomorphe Funktionen, die in einer offenen Umgebung eines Punktes definiert seien, mit

Es habe im Punkt eine hebbare Singularität mit dem Wert . Zeige, dass dann auch im Punkt eine hebbare Singularität mit dem Wert besitzt.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der meromorphen Funktion .




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