Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge,  ${}a\in {\mathbb {C} }$  ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}a$ genau dann eine hebbare Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung ${}f'$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass für ${}{\mathbb {K} }$-wertige stetige Funktionen auf ${}X$ durch  ${}f\sim g$,  falls es eine diskrete Teilmenge  ${}D\subseteq X$  derart gibt, dass

${}f{|}_{X\setminus D}=g{|}_{X\setminus D}\,$

gilt, eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet, sei  ${}D\subseteq U$  eine diskrete Teilmenge und ${}f\colon U\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist eine meromorphe Funktion auf ${}U$.
2. Für jede offene Teilmenge  ${}V\subseteq U$  ist die holomorphe Funktion ${}f{|}_{(U\setminus D)\cap V}$ meromorph auf ${}V$.
3. Es gibt eine offene Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}V_{i}$  derart, dass die holomorphen Funktionen ${}f{|}_{(U\setminus D)\cap V_{i}}$ meromorph sind auf ${}V_{i}$.

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  und sei  ${}P\in U$  ein Punkt. Zeige, dass es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$  und eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}V$ und ein  ${}k\in \mathbb {Z}$  derart gibt, dass  ${}f=h\cdot (z-P)^{k}$  gilt.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion. Zeige, dass es eine offene Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und holomorphe Funktionen

$g_{i},h_{i}\colon U_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit  ${}h_{i}\neq 0$  derart gibt, dass ${}f{|}_{U_{i}}$ mit ${}g_{i}/h_{i}$ auf ${}U_{i}$ außerhalb einer diskreten Teilmenge übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion mit endlich vielen Polstellen. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion

$g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

und ein Polynom ${}h$ mit

${}f={\frac {g}{h}}\,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder meromorphen Funktion auf einer offenen Menge eine minimale diskrete Teilmenge  ${}D\subseteq U$  derart gibt, dass ${}f$ auf ${}U\setminus D$ holomorph ist.

Aufgabe

Es sei  ${}f\neq 0$  eine meromorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einem Gebiet  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass ${}f$ in  ${}a\in U$  genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer meromorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  auch die Ableitung ${}f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?

Aufgabe *

Es sei  ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Kreisscheibe und  ${}V=U\setminus \{0\}$.  Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ meromorph ist.

Aufgabe

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  und sei ${}{\mathcal {M}}_{P}$ der Ring der Keime der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von ${}P$ definiert sind. Zeige, dass ${}{\mathcal {M}}_{P}$ der Quotientenkörper von ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  und sei ${}{\mathcal {M}}_{P}$ der Körper der Keime von meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von ${}P$ definiert sind. Zeige, dass die Ordnung

${\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} {\left(f\right)},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} {\left(fg\right)}=\operatorname {ord} {\left(f\right)}+\operatorname {ord} {\left(g\right)}\,.$

2. ${}\operatorname {ord} {\left(f+g\right)}\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} {\left(f\right)},\,\operatorname {ord} {\left(g\right)}\right)\,.$

3. Es ist ${}f$ ein holomorpher Keim genau dann, wenn

   ${}\operatorname {ord} {\left(f\right)}\geq 0\,$

   gilt.

Aufgabe *

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der rationalen Funktion ${}{\frac {2z}{z^{2}-1}}$.

Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der rationalen Funktion ${}{\frac {z-1}{(z-3)z^{2}}}$.

Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der rationalen Funktion ${}{\frac {z^{3}}{z^{4}-1}}$.

Aufgabe *

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der meromorphen Funktion ${}{\frac {1}{\sin z}}$.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  definierte meromorphe Funktion, und sei  ${}P\in U$. 

1. Zeige, dass der Hauptteil von ${}f'$ in ${}P$ mit der Ableitung des Hauptteiles von ${}f$ in ${}P$ übereinstimmt.
2. Zeige, dass der Nebenteil von ${}f'$ in ${}P$ mit der Ableitung des Nebenteiles von ${}f$ in ${}P$ übereinstimmt.

Es sei ${}K$ ein Körper. Einen Ausdruck der Form ${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}T^{n}$ mit  ${}c_{n}\in K$  und einem  ${}k\in \mathbb {Z}$  nennt man (formale) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Definiere auf der Menge ${}K(\!(T)\!)$ der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über ${}K$ eine Addition und eine Multiplikation, die für formale Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der formale Potenzreihenring über ${}K$. Zeige, dass die Menge ${}K(\!(T)\!)$ der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über ${}K$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation der Quotientenkörper vom formalen Potenzreihenring ist.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen von Ringen vorliegen, und dass in der zweiten Zeile die Quotientenkörper der ersten Zeile stehen (dabei bezeichnet ${}{\mathcal {M}}_{0}$ den Ring der Keime der meromorphen Funktionen und ${}{\mathbb {C} }(\!(T)\!)$ den Ring der formalen Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil).

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }[T]_{(T)}&\subseteq &{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle &\subseteq &{\mathbb {C} }[\![T]\!]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }(T)&\subseteq &{\mathcal {M}}_{0}&\subseteq &{\mathbb {C} }(\!(T)\!)&\,.\end{matrix}}$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}D$ die Menge der Polstellen von ${}f$ oder von ${}g$. Die Übereinstimmungsmenge ${}{\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in ${}U$. Zeige  ${}f=g$. 

Zur folgende Aufgabe vergleiche man Korollar 19.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f,g$ holomorphe Funktionen, die in einer offenen Umgebung eines Punktes ${}a$ definiert seien, mit

${}f(a)=g(a)=0\,.$

Es habe ${}{\frac {f'}{g'}}$ im Punkt ${}a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert ${}w$. Zeige, dass dann auch ${}{\frac {f}{g}}$ im Punkt ${}a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert ${}w$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der rationalen Funktion ${}{\frac {z+4}{(z-2)z^{3}}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt  ${}a\in {\mathbb {C} }$  der meromorphen Funktion ${}{\frac {1}{e^{z}-1}}$.