Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Reihe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Laurent-Reihe über ${}{\mathbb {K} }$ in ${}z$ ist ein formaler Ausdruck der Form ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}\in {\mathbb {K} }$.

Jede Potenzreihe ist insbesondere eine Laurent-Reihe. Ein Laurent-Polynom ist ein Ausdruck der Form

${}F=c_{n}z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots +c_{-k}z^{-k}\,.$

Bei

${}c_{n},c_{-k}\neq 0\,$

nennt man ${}n$ auch den (Ober-) Grad und ${}-k$ den Untergrad von ${}F$, im Allgemeinen geht aber eine Laurent-Reihe in beide Richtungen gegen unendlich. Laurent-Reihen wie oben sind genuaer Laurent-Reihen im Entwicklungspunkt ${}0$, zu jedem Punkt ${}a$ kann man auch die Laurent-Reihe im Entwicklungspunkt ${}a$ betrachten, die die Gestalt ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$ besitzt.

Wie bei Potenzreihen ist die Konvergenz eine zusätzliche Bedingung.

Definition

Eine Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ über ${}{\mathbb {K} }$ konvergiert in ${}z$, wenn die Reihen ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ und ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ konvergieren.

Der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe ist typischerweise ein Kreisring, da die Konvergenz der Potenzreihe eine Bedingung der Form ${}\vert {z}\vert \leq R$ und die Konvergenz der Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Bedingung der Form ${}\vert {z}\vert \geq r$ erfordert (siehe unten). Die beteiligten Teilreihen einer Laurent-Reihe bekommen eigene Namen, die etwas überaschen.

Definition

Zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ den Hauptteil.

Definition

Zu einer Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ den Nebenteil.

Diese Begriffe erklären sich aus einem Kontext, wo man holomorphe Funktionen und die sie beschreibenden Potenzreihen schon gut verstanden hat und wo es jetzt darum geht, auch meromorphe Funktionen und ihre Verhalten in Polen und allgemeiner das Verhalten von holomorphen Funktionen auf Kreisringen zu verstehen. Unter diesem Gesichtspunkt ist dann in einer Laurent-Reihe die Potenzreihe, also die Teilreihe zu den nichtnegativen Indizes, nebensächlich und das Hauptgewicht liegt auf der Teilreihe zu den negativen Indizes. Potenzreihen stimmen mit ihrem Nebenteil überein und ihr Hauptteil ist gleich ${}0$.

Beispiel

Die rationale Funktion ${}{\frac {1}{z}}$ besitzt im Nullpunkt den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$ und den Nebenteil ${}0$.

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes. Es gebe ein ${}z_{0}\neq 0$ derart, dass die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ konvergiert. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Laurent-Reihe konvergiert für jedes ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert >\vert {z_{0}}\vert$.
2. Für jedes ${}s$ mit ${}s>\vert {z_{0}}\vert$ ist die Laurent-Reihe auf ${}{\mathbb {C} }\setminus U{\left(0,s\right)}$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
3. Es gibt ein (minimales) ${}r\geq 0$ derart, dass die Reihe auf ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,r\right)$ konvergiert und dort eine holomorphe Funktion darstellt.

Beweis

Wir können die Reihen ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ bzw. ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ direkt als Potenzreihen ${}\sum _{m\in \mathbb {Z} _{+}}c_{-m}w^{m}$ bzw. ${}\sum _{m\in \mathbb {Z} _{+}}c_{-m}w_{0}^{m}$ mit ${}w_{0}=z_{0}^{-1}$ und ${}w=z^{-1}$ auffassen. Die Behauptungen folgen somit direkt aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Das ${}r$ aus Fakt  (3) nennt man den (unteren oder inneren) Konvergenzradius der Laurent-Reihe.

Korollar

Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion, die durch eine Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit Konvergenzradius ${}R>0$ beschrieben werde.

Dann ist die Laurent-Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{-n}$ für ${}\vert {z}\vert >{\frac {1}{R}}$ konvergent und stellt auf ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,{\frac {1}{R}}\right)$ die holomorphe Funktion ${}f(z^{-1})$ dar.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, die Holomorphie von ${}f(z^{-1})$ beruht auf Fakt und Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ eine konvergente Laurent-Reihe, wobei der Konvergenzradius ${}r$ des Hauptteiles kleiner als der Konvergenzradius ${}R$ des Nebenteils sei.

Dann stellt die Reihe auf dem offenen Kreisring

${}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,$

eine holomorphe Funktion dar.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Potenzreihe

${}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}z^{n}\,,$

die für ${}\vert {z}\vert <2$ nach Fakt konvergiert. Nach Fakt konvergiert daher die Laurent-Reihe

${}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2z}}\right)}^{n}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}{\left(2z\right)}^{m}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}2^{m}z^{m}\,$

für ${}\vert {z}\vert >{\frac {1}{2}}$. Die Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ konvergiert also auf dem Kreisring ${}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$.