Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Überlagerungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Covering map.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Covering map.svg } {} {Johannes Spielmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In dieser Vorlesung führen wir Überlagerungen ein. Die Zielsetzung ist dabei einerseits, Fundamentalgruppen zu berechnen, und andererseits, Vorbereitungen zu schaffen, um zu zeigen, dass Wegintegrale zu homomorphen Funktionen über homotope Wege gleich sind.
\inputdefinition
{
}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
heißt
\definitionswort {Überlagerung}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{\bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Familie
\definitionsverweis {diskreter}{}{}
topologischer Räume
\mathbed {F_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass
\mathl{p^{-1}(U_i)}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zu
\mathl{U_i \times F_i}{}
\zusatzklammer {versehen mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}} {} {}
ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach $U_i$ verträglich sind.
}
Eine Abbildung der Form
\maabbdisp {} {U \times F} {U
} {}
mit einem diskreten Raum $F$ nennt man \stichwort {triviale Überlagerung} {} von $U$, der Überlagerungsraum besteht einfach aus $F$-vielen disjunkten Kopien das Basisraumes $U$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man dann die zu $U$ homöomorphe Teilmenge
\mathl{U \times \{P\}}{} ein \stichwort {Blatt} {} der Überlagerung über $U$. Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} p^{-1} (U_i) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & U_i \times F_i & \\ & \!\!\! \!\! p \searrow & \downarrow & \\ & & U_i & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen
\zusatzklammer {siehe
Lemma 21.4} {} {}
gibt es nur einen diskreten Raum $F$.
\inputbeispiel{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} {w^n
} {,}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w^n
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{{\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung, die
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \defeq }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbildet. Eine solche Menge gibt es nach
Korollar 5.3
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi'(w)
}
{ = }{ nw^{n-1}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {komplexen Einheitswurzeln}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ =} { { \left\{ \zeta \in {\mathbb C} \mid \zeta^n = 1 \right\} }
}
{ =} { \{ e^{ { \frac{ 2 \pi k { \mathrm i} }{ n } } }{{|}}\, k= 0 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
siehe
Lemma 21.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Wir können $V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle $n$-ten
Einheitswurzeln
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die offenen Mengen
\mathkor {} {V} {und} {\mu_\zeta(V)} {}
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} { \left( U \right) }
}
{ \cong} { \biguplus_{\zeta \in E_n} \mu_{\zeta} (V)
}
{ \cong} { U \times E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung
\maabbeledisp {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} { \exp w
} {,}
ist eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp w
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es nach
Korollar 5.3
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \defeq }{ \exp \left( V \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbildet. Durch Verkleinern von $V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen
\mathkor {} {V} {umd} {V+ 2 \pi k { \mathrm i}} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp^{-1}(U)
}
{ \cong} { \biguplus_{k \in \Z} { \left( V + 2 k \pi { \mathrm i} \right) }
}
{ \cong} { U \times \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
und $X$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^{-1}(x)
}
{ \cong} { p^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine beliebige Überlagerung und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Überdeckung von $X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^{-1}(x)
}
{ \cong} { F_i
}
{ \cong} { p^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $X$ zusammenhängend,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { { \left\{ y \in X \mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x) \right\} }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist $T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der $p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch $X \setminus T$ offen. Da $X$ zusammenhängend ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In
Beispiel 21.2
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in
Beispiel 21.3
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
$X$ und $Y$ heißt \definitionswort {lokaler Homöomorphismus}{,} wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $\varphi(U)$ offen in $Y$ ist und dass die Einschränkung
\maabbdisp {} {U} {\varphi(U)
} {}
ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{p(y)
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $p^{-1} (U)$ die disjunkte Vereinigung von zu $U$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss $y$ liegen.
Zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Inklusion ein lokaler Homöomorphismus, aber im Allgemeinen keine Überlagerung.
{Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Offene Abbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {offene Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.15. }
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {E} {X
} {}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {offene Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 21.6 und Lemma 21.7.
\zwischenueberschrift{Liftungen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Unter einem
\definitionswort {stetigen Schnitt}{}
zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung
\maabb {s} {X} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ X }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,Y} {und} {Z} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es seien
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
und
\maabbdisp {\varphi} {Z} {X
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Unter einem
\definitionswort {stetigen Schnitt längs}{}
$\varphi$ zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung
\maabb {\tilde{\varphi}} {Z} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p \circ \tilde{ \varphi }
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Es liegt also ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} & & & Y \\ & & \tilde{\varphi} \nearrow & \downarrow p \\ & Z & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & X\! \\ \end{matrix}} { }
vor. Man nennt $\tilde{\varphi}$ auch eine \stichwort {Liftung} {} von $\varphi$.
Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
und einem
\definitionsverweis {stetigen Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
nennt man einen stetigen Weg
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1]} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma
}
{ =} { p \circ \tilde{\gamma}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionswort {Liftung}{}
von $\gamma$.
}
\inputfaktbeweis
{Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{,}
\maabb {\gamma} { I } {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(z)
}
{ = }{ \gamma(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau einen stetigen Weg
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {I} { Y
} {}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ \tilde{\gamma}
}
{ = }{ \gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}(0)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \gamma(I)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $p$ oberhalb von $U_x$ trivialisiert, d.h.
\mathl{p^{-1} (U_x)}{} ist die disjunkte Vereinigung von zu $U_x$ über $p$
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}
offenen Teilmengen von $Y$. Aufgrund der
\definitionsverweis {Kompaktheit}{}{}
von $\gamma(I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} mit dieser Eigenschaft und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_{i+1} \cap \gamma(I)
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$
\zusatzklammer {da $\gamma(I)$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist} {} {}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(1)
}
{ \in }{ U_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ = }{\gamma(t_i)
}
{ \in }{ U_i \cap U_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit aufsteigenden Zeitpunkten $t_i$. Es sei $V_1$ diejenige zu $U_1$ homöomorphe Teilmenge von $Y$, die $z$ enthält. Dann gibt es für den auf
\mathl{[0, t_1]}{} eingeschränkten Weg nur die Liftung
\mathl{p {{|}}_{V_i}^{-1} \circ \gamma{{|}}_{[0,t_1]}}{.} Dieser Weg hat für $t_1$ einen eindeutigen Endpunkt in $Y$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1
}
{ =} { \tilde{\gamma}(t_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
homöomorph zu $U_2$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten $\tilde{\gamma}$ nach
\mathl{[t_1,t_2]}{.} So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.
Man beachte, dass die Liftung von einem geschlossenen Weg nicht geschlossen sein muss.
\inputfaktbeweis
{Überlagerung/Homotope Wege/Liftung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es seien
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[a,b]} { X
} {}
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {homotope Wege}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt oberhalb von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(a)
}
{ = }{ \gamma_2(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die nach
Satz 21.12
eindeutigen
\definitionsverweis {Liftungen}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\gamma}_1, \tilde{\gamma}_2} {[a,b] } {Y
} {}
mit dem Startwert $y$ ebenfalls zueinander homotop und besitzen insbesondere den gleichen Endpunkt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbdisp {H} {[a,b] \times [0,1] } { X
} {}
eine
\definitionsverweis {Homotopie}{}{}
zwischen den beiden Wegen
\mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {.}
Es gibt wegen der Kompaktheit von
\mathl{[a,b] \times [0,1]}{}
\zusatzklammer {bzw. dem Bild \mathlk{H( [a,b] \times [0,1] )}{}} {} {}
eine Zerlegung von
\mathl{[a,b] \times [0,1]}{} in ein Rechtecksnetz aus achsenparallelen Rechtecken
\mathbed {R_{ij}} {}
{1 \leq i \leq m} {}
{1 \leq j \leq n} {} {} {,}
derart, dass
\mathl{H(R_{ij})}{} in einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_{ij}
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt, bezüglich der die Überlagerung trivialisiert. Die Liftung für einen einzigen Punkt legt dann eine eindeutige Liftung für das ganze Rechteck fest. Wir betrachten die \anfuehrung{dünnen}{} Rechtecke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_j
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n R_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Einschränkungen von $H$ auf den Rändern unten und oben zu $\gamma_1$
\zusatzklammer {und $\gamma_2$} {} {}
homotope Wege sind. Wir können also die Aussage durch Induktion über $j$ beweisen und müssen zeigen, dass die Liftungen des unteren Randes und des oberen Randes homotop sind. Die nach
Satz 21.12
eindeutige Liftung $\tilde{\gamma}_u$ des unteren Weges $\gamma_u$ mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}_u (a)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legen eine eindeutige Liftung $\tilde{H}_j$ von $H_j$ für jedes Rechteck
\mathl{R_{ij}}{} fest. Diese Liftung beinhaltet die eindeutige Liftung des oberen Weges und zeigt, dass diese Wege über $\tilde{H}_j$ zueinander homotop sind. Die Liftung des rechten Randes von
\mathl{R_{nj}}{} zeigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}_u (b)
}
{ =} { \tilde{\gamma}_o (b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Überlagerungen und Fundamentalgruppe}
\inputfaktbeweis
{Überlagerung/Einfach zusammenhängend/Nullhomotop und Endpunkt der Liftung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {,}
wobei $Y$
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ \gamma(1)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt oberhalb von $P$.}
\faktfolgerung {Dann ist $\gamma$ genau dann
\definitionsverweis {nullhomotop}{}{,}
wenn die nach
Satz 21.12
eindeutige
\definitionsverweis {Liftung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1] } {Y
} {}
mit dem Startpunkt $y$ auch den Endpunkt $y$ besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $\gamma$ nullhomotop ist, so folgt die Aussage aus
Satz 21.13,
da der konstante Weg eine konstante Liftung besitzt. Wenn umgekehrt für $\tilde{\gamma}$ der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt, so handelt es sich um einen geschlossenen Weg in $Y$, der aufgrund des einfachen Zusammenhangs nullhomotop ist. Dies überträgt sich auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ = }{ p \circ \tilde{\gamma}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kreis/Fundamentalgruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Kreises}{}{}
\mathl{S^1}{}}
\faktfolgerung {ist $\Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wenden
Korollar 21.14
auf die
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} { S^1
} {t} { (\cos 2 \pi t , \sin 2 \pi t )
} {,}
und den Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,0)
}
{ \in }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Die Faser über $P$ ist
\mathl{\Z}{.} Wir nehmen $0$ als Referenzpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} { C([0,1], S^1, P)} { \Z
} {\gamma } { \tilde{\gamma} (1)
} {,}
die einem geschlossenen Weg $\gamma$ in $S^1$ mit Aufpunkt $P$ den Endpunkt der Wegliftung $\tilde{\gamma}$ zuordnet, die den Anfangspunkt $0$ besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in $\R$ auseinander hervorgehen. Nach
Korollar 21.14
führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \pi_1 (S^1,P)} { \Z
} {.}
Dieser ist auch surjektiv, da man in $\R$ von $0$ aus jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einen stetigen
\zusatzklammer {linearen} {} {}
Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.
\inputfaktbeweis
{Punktierte Ebene/Fundamentalgruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
der punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{P\}}{}}
\faktfolgerung {ist $\Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Beispiel 20.12, Satz 20.13 und Satz 21.15.