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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 21

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Überlagerungen

In dieser Vorlesung führen wir Überlagerungen ein. Die Zielsetzung ist dabei einerseits, Fundamentalgruppen zu berechnen, und andererseits, Vorbereitungen zu schaffen, um zu zeigen, dass Wegintegrale zu homomorphen Funktionen über homotope Wege gleich sind.


Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.

Eine Abbildung der Form

mit einem diskreten Raum nennt man triviale Überlagerung von , der Überlagerungsraum besteht einfach aus -vielen disjunkten Kopien das Basisraumes . Zu nennt man dann die zu homöomorphe Teilmenge ein Blatt der Überlagerung über . Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme

mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen (siehe Lemma 21.4) gibt es nur einen diskreten Raum .


Zu ist

eine Überlagerung. Sei und ein Punkt mit . Es sei eine offene Umgebung, die homöomorph auf abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Korollar 5.3 und wegen . Die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln ist

siehe Lemma 21.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Wir können verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle -ten Einheitswurzeln die offenen Mengen und disjunkt sind. Dann ist



Die Abbildung

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt und einem Punkt mit gibt es nach Korollar 5.3 eine offene Umgebung , die homöomorph auf abbildet. Durch Verkleinern von können wir annehmen, dass die offenen Mengen umd für disjunkt sind. Dann ist




Es sei eine Überlagerung und zusammenhängend.

Dann ist

für alle .

Es sei zunächst eine beliebige Überlagerung und , , eine Überdeckung von , über der die Überlagerung trivialisiert. Für ist

Es sei nun zusammenhängend, fixiert und

Dann ist offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch offen. Da zusammenhängend ist, gilt .


Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In Beispiel 21.2 ist und in Beispiel 21.3 ist .


Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass offen in ist und dass die Einschränkung

ein Homöomorphismus ist.



Eine Überlagerung

ist ein lokaler Homöomorphismus.

Sei . Zu gibt es eine offene Umgebung derart, dass die disjunkte Vereinigung von zu homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss liegen.


Zu einer offenen Teilmenge ist die Inklusion ein lokaler Homöomorphismus, aber im Allgemeinen keine Überlagerung.



Ein lokaler Homöomorphismus

ist eine offene Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.15.



Eine Überlagerung

ist eine offene Abbildung.

Dies folgt aus Lemma 21.6 und Lemma 21.7.




Liftungen

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu versteht man eine stetige Abbildung mit


Es seien und topologische Räume und es seien

und

stetige Abbildungen. Unter einem stetigen Schnitt längs zu versteht man eine stetige Abbildung mit

Es liegt also ein kommutatives Diagramm

vor. Man nennt auch eine Liftung von .

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.


Es seien und topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg

nennt man einen stetigen Weg

mit

eine Liftung von .



Es sei eine Überlagerung, ein stetiger Weg und ein Punkt mit .

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

mit der Eigenschaft, dass und ist.

Zu jedem Punkt gibt es eine offene Umgebung derart, dass oberhalb von trivialisiert, d.h. ist die disjunkte Vereinigung von zu über homöomorphen offenen Teilmengen von . Aufgrund der Kompaktheit von gibt es somit endlich viele offene Mengen mit dieser Eigenschaft und mit , mit für alle (da zusammenhängend ist) und mit . Es sei mit aufsteigenden Zeitpunkten . Es sei diejenige zu homöomorphe Teilmenge von , die enthält. Dann gibt es für den auf eingeschränkten Weg nur die Liftung . Dieser Weg hat für einen eindeutigen Endpunkt in , sagen wir

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge homöomorph zu und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten nach . So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

Man beachte, dass die Liftung von einem geschlossenen Weg nicht geschlossen sein muss.



Es sei

eine Überlagerung von topologischen Räumen und . Es seien

stetige homotope Wege und sei ein Punkt oberhalb von .

Dann sind die nach Satz 21.12 eindeutigen Liftungen

mit dem Startwert ebenfalls zueinander homotop und besitzen insbesondere den gleichen Endpunkt.

Es sei

eine Homotopie zwischen den beiden Wegen und . Es gibt wegen der Kompaktheit von (bzw. dem Bild ) eine Zerlegung von in ein Rechtecksnetz aus achsenparallelen Rechtecken , , , derart, dass in einer offenen Menge liegt, bezüglich der die Überlagerung trivialisiert. Die Liftung für einen einzigen Punkt legt dann eine eindeutige Liftung für das ganze Rechteck fest. Wir betrachten die „dünnen“ Rechtecke , wobei die Einschränkungen von auf den Rändern unten und oben zu (und ) homotope Wege sind. Wir können also die Aussage durch Induktion über beweisen und müssen zeigen, dass die Liftungen des unteren Randes und des oberen Randes homotop sind. Die nach Satz 21.12 eindeutige Liftung des unteren Weges mit der Anfangsbedingung legen eine eindeutige Liftung von für jedes Rechteck fest. Diese Liftung beinhaltet die eindeutige Liftung des oberen Weges und zeigt, dass diese Wege über zueinander homotop sind. Die Liftung des rechten Randes von zeigt




Überlagerungen und Fundamentalgruppe



Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und , wobei einfach zusammenhängend sei. Es sei und sei

ein stetiger geschlossener Weg mit und sei ein Punkt oberhalb von .

Dann ist genau dann nullhomotop, wenn die nach Satz 21.12 eindeutige Liftung

mit dem Startpunkt auch den Endpunkt besitzt.

Wenn nullhomotop ist, so folgt die Aussage aus Satz 21.13, da der konstante Weg eine konstante Liftung besitzt. Wenn umgekehrt für der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt, so handelt es sich um einen geschlossenen Weg in , der aufgrund des einfachen Zusammenhangs nullhomotop ist. Dies überträgt sich auf .



Die Fundamentalgruppe des Kreises

ist .

Wir wenden Korollar 21.14 auf die Überlagerung

und den Aufpunkt an. Die Faser über ist . Wir nehmen als Referenzpunkt und betrachten die Abbildung

die einem geschlossenen Weg in mit Aufpunkt den Endpunkt der Wegliftung zuordnet, die den Anfangspunkt besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in auseinander hervorgehen. Nach Korollar 21.14 führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus

Dieser ist auch surjektiv, da man in von aus jedes durch einen stetigen (linearen) Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.



Die Fundamentalgruppe der punktierten Ebene

ist .

Dies folgt aus Beispiel 20.12, Satz 20.13 und Satz 21.15.



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)