Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 21

Überlagerungen

In dieser Vorlesung führen wir Überlagerungen ein. Die Zielsetzung ist dabei einerseits, Fundamentalgruppen zu berechnen, und andererseits, Vorbereitungen zu schaffen, um zu zeigen, dass Wegintegrale zu homomorphen Funktionen über homotope Wege gleich sind.

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

p\colon Y\longrightarrow X

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$ , ${}i\in I$ , derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Eine Abbildung der Form

U\times F\longrightarrow U

mit einem diskreten Raum ${}F$ nennt man triviale Überlagerung von ${}U$ , der Überlagerungsraum besteht einfach aus ${}F$ -vielen disjunkten Kopien das Basisraumes ${}U$ . Zu ${}P\in F$ nennt man dann die zu ${}U$ homöomorphe Teilmenge ${}U\times \{P\}$ ein Blatt der Überlagerung über ${}U$ . Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme

{\begin{matrix}p^{-1}(U_{i})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U_{i}\times F_{i}&\\&\!\!\!\!\!p\searrow &\downarrow &\\&&U_{i}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen (siehe Lemma 21.4) gibt es nur einen diskreten Raum ${}F$ .

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},

eine Überlagerung. Sei ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${}w\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ein Punkt mit ${}w^{n}=z$ . Es sei ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ eine offene Umgebung, die homöomorph auf ${}U:=\varphi (V)$ abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Korollar 5.3 und wegen ${}\varphi '(w)=nw^{n-1}\neq 0$ . Die Menge der ${}n$ -ten komplexen Einheitswurzeln ist

{}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,

siehe Lemma 21.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Wir können ${}V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle ${}n$ -ten Einheitswurzeln ${}\zeta \neq 1$ die offenen Mengen ${}V$ und ${}\mu _{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist

{}\varphi ^{-1}{\left(U\right)}\cong \biguplus _{\zeta \in E_{n}}\mu _{\zeta }(V)\cong U\times E_{n}\,.

Beispiel

Die Abbildung

\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und einem Punkt ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\exp w=z$ gibt es nach Korollar 5.3 eine offene Umgebung ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ , die homöomorph auf ${}U:=\exp \left(V\right)$ abbildet. Durch Verkleinern von ${}V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen ${}V$ umd ${}V+2\pi k{\mathrm {i} }$ für ${}k\neq 0$ disjunkt sind. Dann ist

{}\exp ^{-1}(U)\cong \biguplus _{k\in \mathbb {Z} }{\left(V+2k\pi {\mathrm {i} }\right)}\cong U\times \mathbb {Z} \,.

Lemma

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung und ${}X$ zusammenhängend.

Dann ist

${}p^{-1}(x)\cong p^{-1}(y)\,$

für alle ${}x,y\in X$ .

Beweis

Es sei zunächst ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Überdeckung von ${}X$ , über der die Überlagerung trivialisiert. Für ${}x,y\in U_{i}$ ist

{}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.

Es sei nun ${}X$ zusammenhängend, ${}x\in X$ fixiert und

{}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.

Dann ist ${}T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${}p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${}X\setminus T$ offen. Da ${}X$ zusammenhängend ist, gilt ${}T=X$ .

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Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In Beispiel 21.2 ist ${}F=\mathbb {Z} /(n)$ und in Beispiel 21.3 ist ${}F=\mathbb {Z}$ .

Definition

Eine stetige Abbildung

\varphi \colon X\longrightarrow Y

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart gibt, dass ${}\varphi (U)$ offen in ${}Y$ ist und dass die Einschränkung

U\longrightarrow \varphi (U)

ein Homöomorphismus ist.

Lemma

Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$

ist ein lokaler Homöomorphismus.

Beweis

Sei ${}y\in Y$ . Zu ${}x=p(y)\in X$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart, dass ${}p^{-1}(U)$ die disjunkte Vereinigung von zu ${}U$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss ${}y$ liegen.

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Zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist die Inklusion ein lokaler Homöomorphismus, aber im Allgemeinen keine Überlagerung.

Lemma

Ein lokaler Homöomorphismus ${}p\colon Y\rightarrow X$

ist eine offene Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.15.

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Korollar

Eine Überlagerung ${}p\colon E\rightarrow X$

ist eine offene Abbildung.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 21.6 und Lemma 21.7.

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Liftungen

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

p\colon Y\longrightarrow X

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

{}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.

Definition

Es seien ${}X,Y$ und ${}Z$ topologische Räume und es seien

p\colon Y\longrightarrow X

und

\varphi \colon Z\longrightarrow X

stetige Abbildungen. Unter einem stetigen Schnitt längs ${}\varphi$ zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}{\tilde {\varphi }}\colon Z\rightarrow Y$ mit

{}p\circ {\tilde {\varphi }}=\varphi \,.

Es liegt also ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}&&&Y\\&&{\tilde {\varphi }}\nearrow &\downarrow p\\&Z&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&X\!\\\end{matrix}}

vor. Man nennt ${}{\tilde {\varphi }}$ auch eine Liftung von ${}\varphi$ .

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

nennt man einen stetigen Weg

{\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y

mit

{}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,

eine Liftung von ${}\gamma$ .

Satz

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in Y$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$ .

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow Y$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}x\in \gamma (I)$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}$ derart, dass ${}p$ oberhalb von ${}U_{x}$ trivialisiert, d.h. ${}p^{-1}(U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu ${}U_{x}$ über ${}p$ homöomorphen offenen Teilmengen von ${}Y$ . Aufgrund der Kompaktheit von ${}\gamma (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit ${}\gamma (0)\in U_{1}$ , mit ${}U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset$ für alle ${}i$ (da ${}\gamma (I)$ zusammenhängend ist) und mit ${}\gamma (1)\in U_{n}$ . Es sei ${}x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten ${}t_{i}$ . Es sei ${}V_{1}$ diejenige zu ${}U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von ${}Y$ , die ${}z$ enthält. Dann gibt es für den auf ${}[0,t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung ${}p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}$ . Dieser Weg hat für ${}t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in ${}Y$ , sagen wir

{}z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge ${}V_{2}\subseteq Y$ homöomorph zu ${}U_{2}$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten ${}{\tilde {\gamma }}$ nach ${}[t_{1},t_{2}]$ . So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

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Man beachte, dass die Liftung von einem geschlossenen Weg nicht geschlossen sein muss.

Satz

Es sei

p\colon Y\longrightarrow X

eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ . Es seien

\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow X

stetige homotope Wege und sei ${}y\in Y$ ein Punkt oberhalb von ${}\gamma _{1}(a)=\gamma _{2}(a)$ .

Dann sind die nach Satz 21.12 eindeutigen Liftungen

${\tilde {\gamma }}_{1},{\tilde {\gamma }}_{2}\colon [a,b]\longrightarrow Y$

mit dem Startwert ${}y$ ebenfalls zueinander homotop und besitzen insbesondere den gleichen Endpunkt.

Beweis

Es sei

H\colon [a,b]\times [0,1]\longrightarrow X

eine Homotopie zwischen den beiden Wegen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ . Es gibt wegen der Kompaktheit von ${}[a,b]\times [0,1]$ (bzw. dem Bild $H([a,b]\times [0,1])$ ) eine Zerlegung von ${}[a,b]\times [0,1]$ in ein Rechtecksnetz aus achsenparallelen Rechtecken ${}R_{ij}$ , ${}1\leq i\leq m$ , ${}1\leq j\leq n$ , derart, dass ${}H(R_{ij})$ in einer offenen Menge ${}V_{ij}\subseteq X$ liegt, bezüglich der die Überlagerung trivialisiert. Die Liftung für einen einzigen Punkt legt dann eine eindeutige Liftung für das ganze Rechteck fest. Wir betrachten die „dünnen“ Rechtecke ${}R_{j}=\bigcup _{i=1}^{n}R_{ij}$ , wobei die Einschränkungen von ${}H$ auf den Rändern unten und oben zu ${}\gamma _{1}$ (und ${}\gamma _{2}$ ) homotope Wege sind. Wir können also die Aussage durch Induktion über ${}j$ beweisen und müssen zeigen, dass die Liftungen des unteren Randes und des oberen Randes homotop sind. Die nach Satz 21.12 eindeutige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}_{u}$ des unteren Weges ${}\gamma _{u}$ mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}_{u}(a)=y$ legen eine eindeutige Liftung ${}{\tilde {H}}_{j}$ von ${}H_{j}$ für jedes Rechteck ${}R_{ij}$ fest. Diese Liftung beinhaltet die eindeutige Liftung des oberen Weges und zeigt, dass diese Wege über ${}{\tilde {H}}_{j}$ zueinander homotop sind. Die Liftung des rechten Randes von ${}R_{nj}$ zeigt

{}{\tilde {\gamma }}_{u}(b)={\tilde {\gamma }}_{o}(b)\,.

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Überlagerungen und Fundamentalgruppe

Korollar

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ , wobei ${}Y$ einfach zusammenhängend sei. Es sei ${}P\in X$ und sei

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X

ein stetiger geschlossener Weg mit ${}\gamma (0)=\gamma (1)=P$ und sei ${}y\in Y$ ein Punkt oberhalb von ${}P$ .

Dann ist ${}\gamma$ genau dann nullhomotop, wenn die nach Satz 21.12 eindeutige Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit dem Startpunkt ${}y$ auch den Endpunkt ${}y$ besitzt.

Beweis

Wenn ${}\gamma$ nullhomotop ist, so folgt die Aussage aus Satz 21.13, da der konstante Weg eine konstante Liftung besitzt. Wenn umgekehrt für ${}{\tilde {\gamma }}$ der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt, so handelt es sich um einen geschlossenen Weg in ${}Y$ , der aufgrund des einfachen Zusammenhangs nullhomotop ist. Dies überträgt sich auf ${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$ .

\Box

Satz

Die Fundamentalgruppe des Kreises ${}S^{1}$

ist ${}\mathbb {Z}$ .

Beweis

Wir wenden Korollar 21.14 auf die Überlagerung

\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t),

und den Aufpunkt ${}P=(1,0)\in S^{1}$ an. Die Faser über ${}P$ ist ${}\mathbb {Z}$ . Wir nehmen ${}0$ als Referenzpunkt ${}0\in \mathbb {R}$ und betrachten die Abbildung

C([0,1],S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto {\tilde {\gamma }}(1),

die einem geschlossenen Weg ${}\gamma$ in ${}S^{1}$ mit Aufpunkt ${}P$ den Endpunkt der Wegliftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zuordnet, die den Anfangspunkt ${}0$ besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in ${}\mathbb {R}$ auseinander hervorgehen. Nach Korollar 21.14 führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus

\pi _{1}(S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} .

Dieser ist auch surjektiv, da man in ${}\mathbb {R}$ von ${}0$ aus jedes ${}n\in \mathbb {Z}$ durch einen stetigen (linearen) Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.