Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 26/latex
\setcounter{section}{26}
In den verbleibenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit sogenannten elliptischen Funktionen, das sind meromorphe Funktionen, die bezüglich eines Gitters periodisch sind.
\zwischenueberschrift{Gitter}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lattice in R2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lattice in R2.svg } {} {Squizzz} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren im $\R^n$. Dann heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n}{} ein \definitionswort {Gitter}{} im $\R^n$.
}
Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu $\Z^n$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in $\R^n$. Ein Gitter heißt \stichwort {rational} {,} wenn die erzeugenden Vektoren zu $\Q^n$ gehören.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist die topologische Restklassengruppe
\mathl{\R^n/\Gamma}{} isomorph zum $n$-dimensionalen Torus
\mathl{S^1 \times \cdots \times S^1}{}
\zusatzklammer {mit $n$ Faktoren} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 26.1
können wir davon ausgehen, dass $\Gamma$ das
\definitionsverweis {Standardgitter}{}{}
\mathl{\Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n}{} ist. Für dieses gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^n/ { \left( \Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n \right) }
}
{ =} { { \left( \R/ \Z e_1 \right) } \times \cdots \times { \left( \R/ \Z e_n \right) }
}
{ =} { S^1 \times \cdots \times S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Basis/Übergang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
im $\R^n$.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die zugehörigen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta
}
{ = }{\Z w_1 \oplus \cdots \oplus \Z w_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann überein, wenn ihre
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
ganzzahlig mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$\pm 1$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
die
\zusatzklammer {reellen} {} {}
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den beiden Basen, dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ N
}
{ =} { E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M \cdot \det N
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
dem Determinantenmultiplikationsatz.
Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ \in }{ \Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{c_{ij}}{} ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {}
sein müssen, da dies die einzigen
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $\Z$ sind.
Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq} { \Delta
}
{ \subseteq} { \Gamma
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit Gleichheit.
Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {Gitter}{}
in den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ versteht man ein
\definitionsverweis {vollständiges Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z v_1 \oplus \Z v_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zwei reell linear unabhängige Paare
\mathkor {} {(u_1,u_2)} {und} {(v_1,v_2)} {}
vom komplexen Zahlen}
\faktfolgerung {definieren genau dann das gleiche
\definitionsverweis {Gitter}{}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u_1 \\u_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 26.3.
Beispielsweise stimmen die durch
\mathl{1, { \mathrm i}}{} bzw.
\mathl{1, 2+ { \mathrm i}}{} erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2+{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. umgekehrt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2+{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die spezielle lineare Gruppe über $\Z$ }
Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension $2$ über $\Z$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \Z , \, ad-bc = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese haben die Wirkungsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gelten die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ =} { -
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ =} { -
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 26.10. }
\inputfaktbeweis
{Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{}}
\faktfolgerung {wird von den beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} über $\Z$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über
\mathl{\betrag { c }}{.} Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{d
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch Multiplikation mit $S^2$
\zusatzklammer {siehe
Lemma 26.6} {} {}
können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$
\zusatzklammer {mit einem eventuell negativen Exponenten} {} {.}
Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a \\c \end{pmatrix}}{} durch
\mathl{\begin{pmatrix} a \pm c \\c \end{pmatrix}}{} ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte
\mathl{\begin{pmatrix} a' \\c \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a' }
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
\zwischenueberschrift{Streckungsäquivalenz und Modulsubstitution}
Zu je zwei Gittern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Quotienten
\mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {}
als
\definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{}
isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{.} Auch als
\definitionsverweis {reelle Lie-Gruppen}{}{}
sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeiten bzw. als komplexe Liegruppen sind aber
\mathkor {} {{\mathbb C} /\Gamma_1} {und} {{\mathbb C} /\Gamma_2} {}
in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe
\mathl{S^1 \times S^1}{} unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt.
\inputdefinition
{}
{
Zwei
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1,\Gamma_2
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {streckungsäquivalent}{,}
wenn es eine komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_2
}
{ = }{ s \Gamma_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Dabei ist natürlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Streckungsäquivalenz ist eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
Wenn das eine Gitter $\Gamma_1$ durch die reelle Basis
\mathl{u_1,u_2}{} und das andere Gitter $\Gamma_2$ durch
\mathl{v_1,v_2}{} gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s
}
{ =} { { \frac{ v_1 }{ u_1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein zu $\Gamma_1$ streckungsäquivalentes Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \Gamma_1
}
{ =} { \langle v_1, { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } } \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden, das mit $\Gamma_2$ im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ v_1 u_2 }{ u_1 } }
}
{ \neq} { v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht schließen, dass
\mathkor {} {\Gamma_1} {und} {\Gamma_2} {}
nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} multiplizieren.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Jedes
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z u}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z u_1 + \Z u_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{u_1,u_2}{} eine reelle Basis bilden, ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq }{ u_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man das streckungsäquivalente Gitter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s \Gamma
}
{ =} { \langle s u_1, s u_2 \rangle
}
{ =} { \langle u_1^{-1} u_1, u_1^{-1} u_2 \rangle
}
{ =} { \langle 1, u_1^{-1} u_2 \rangle
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ u_1^{-1} u_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen
\mathkor {} {u_1} {und} {u_2} {}
vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.
Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form
\mathkor {} {(1, u)} {bzw.} {(1, v)} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind, übereinstimmen.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zwei
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1
}
{ = }{ \Z \tau_1 + \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2
}
{ = }{ \Z \tau_2 + \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau_1,\tau_2
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {sind genau dann
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2
}
{ =} { { \frac{ a \tau_1 +b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus
Korollar 26.5
führt auf die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \tau_2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { s \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau_1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { s\begin{pmatrix} a \tau_1+b \\c \tau_1 +d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein und die Bedingung wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau_2
}
{ =} { { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }
}
{ =} { { \frac{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d ) }{ (c \tau_1 +d)( c \overline{ \tau_1 } +d ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a \tau_1+b)( c \overline{ \tau_1 } +d )
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + ad \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 }
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + (bc \pm 1) \tau_1 + bc \overline{ \tau_1 }
}
{ =} { ac \tau_1 \overline{ \tau_1 } + bd + bc { \left( \tau_1 + \overline{ \tau_1 } \right) } \pm \tau_1
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört
\mathl{{ \frac{ a \tau_1+b }{ c \tau_1 +d } }}{} genau dann zu ${\mathbb H}$, wenn das Vorzeichen vor $\tau_1$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.
Aufgrund von
Lemma 26.10
ist es naheliegend, die folgende Wirkungsweise der Gruppe der speziellen ganzzahligen $2 \times 2$-Matrizen auf der oberen Halbebene zu betrachten.
\inputdefinition
{}
{
Die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der Gruppe $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
${\mathbb H}$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \tau
}
{ \defeq} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Modulsubstitution}{.}
}
Es handelt sich also um die Wirkung von speziellen
\definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
auf der oberen Halbebene. Dass das Ergebnis einer solchen Substitution
\zusatzklammer {man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation} {} {}
wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in
Lemma 26.10
mitbewiesen. Eine Gruppenoperation liegt aufgrund von
Lemma 2.5
vor. Die spezielle lineare Gruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} nennt man in diesem Zusammenhang auch \stichwort {Modulgruppe} {.} Da die negative Einheitsmatrix
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} als Modulsubstitution trivial operiert, betrachtet man zumeist die Restklassengruppe
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } / \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} als die Modulgruppe.
\inputbemerkung
{}
{
Die Wirkungsweise der beiden Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nach
Satz 26.7
die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der
\definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tau
}
{ =} { - \tau^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tau
}
{ =} { \tau +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModularGroup-FundamentalDomain.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht.} }
\bildlizenz { ModularGroup-FundamentalDomain.svg } {} {Kilom691} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputfaktbeweis
{Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{D
}
{ =} { { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } > 1 \text{ und } \betrag {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } < { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \geq 1 \text{ und }
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right\} } \cup { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \text{ und } - { \frac{ 1 }{ 2 } } <
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $D$ ein
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
für die
\definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{}
auf der oberen Halbebene.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ = }{ r +s { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g \tau
}
{ =} { { \frac{ a \tau +b }{ c \tau +d } }
}
{ =} { { \frac{ (a \tau +b)( \overline{ c \tau +d }) }{ (c \tau +d)( \overline{ c \tau +d }) } }
}
{ =} { { \frac{ (a (r +s { \mathrm i}) +b) ( c (r -s { \mathrm i}) +d ) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (a r+b +as { \mathrm i} ) ( c r+d -cs { \mathrm i}) }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + ( da -bc ) s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (a r+b)(cr+d) + acs^2 + s { \mathrm i} }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies bedeutet, dass zwischen den Imaginärteilen von
\mathkor {} {\tau} {und von} {g \tau} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus ferner, dass die Menge
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }} {}
{g \in \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }} {}
{} {} {} {,}
ein Maximum besitzt. Es sei $g$ entsprechend gewählt. Wir wählen ferner
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der Realteil von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau'
}
{ =} {T^n g \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwischen
\mathkor {} {- { \frac{ 1 }{ 2 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }} {}
liegt, was nach
Bemerkung 26.12
möglich ist. Der Betrag von $\tau'$ ist $\geq 1$, andernfalls würde sich durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S \tau'
}
{ = }{ - { \frac{ 1 }{ \tau' } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Widerspruch zur Wahl von $g$ ergeben. Somit gelangt man in den Abschluss von $D$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \overline{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn der Realteil von $\tau$ gleich ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ ist, so kann man durch Anwendung von $T^{-1}$ erreichen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T^{-1} \tau
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Elemente auf dem rechten Kreisteilbogen kann man durch eine Anwendung von $S$ auf den linken Kreisteilbogen schicken. Daher wird jedes Element von $H$ durch ein Element aus $D$ repräsentiert.
Es ist noch zeigen, dass dieses Element eindeutig ist. Nach
Lemma 26.10
genügt es zu zeigen, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{ \pm
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ \notin }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tau
}
{ = }{r+s { \mathrm i}
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört und müssen zeigen, dass $g$ die Identität oder das Negative der Identität ist. Da die Rollen von
\mathkor {} {\tau} {und} {g \tau} {}
vertauscht werden können, können wir annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wie oben gezeigt gilt für den Imaginärteil
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( g \tau \right) }
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) } }{ \betrag { c \tau +d }^2 } }
}
{ \geq} { \operatorname{Im} \, { \left( \tau \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c \tau +d }^2
}
{ =} { { \left( cr+d \right) }^2 + c^2s^2
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \geq }{ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ a
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir direkt $=1$ annehmen können, und es liegt eine Scherung vor, die wegen des Realteiles trivial sein muss. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir durch Multiplikation mit $-
\operatorname{Id}$ annehmen können, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \tau +d }
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Determinante ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g \tau
}
{ = }{ { \frac{ a \tau -1 }{ \tau } }
}
{ = }{ a - \tau^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Imaginärteil dieser Zahl ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ s }{ r^2+s^2 } }
}
{ \leq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also muss $\tau$ ein Punkt der Sphäre und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Von $\tau$ und $- \tau^{-1}$ liegt aber genau ein Element auf dem fixierten Kreissegment.
\inputfaktbeweis
{Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Jedes
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $D$ den
\definitionsverweis {Fundamentalbereich zur Modulsubstitution}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 26.9, Lemma 26.10 und Lemma 26.13.