Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/24/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 4 3 0 12 2 4 2 2 1 1 3 0 2 0 0 0 2 47




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  2. Eine surjektive Abbildung
  3. Die Summe zweier natürlicher Zahlen und .
  4. Die Negation auf den ganzen Zahlen.
  5. Die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen.
  6. Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.


Lösung

  1. Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .
  2. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  3. Die Summe ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.
  4. Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl versteht man die Abbildung , die durch

    gegeben ist.

  5. Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.
  6. Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

    die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe weiter

Der Ausdruck bedeute, dass die Person (aus dem Kurs) heute einen Stift mit der Farbe (aus einer bestimmten Menge von Farben) dabei hat. Formuliere in normalen Worten, was die folgenden formal geschriebenen Ausdrücke bedeuten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Lösung

  1. Jede Person (hier und im folgenden: aus dem Kurs) hat heute (mindestens) einen Stift (irgendeiner Farbe) dabei.
  2. Es gibt eine Person, die von allen Farben einen Stift dieser Farbe dabei hat.
  3. Jede Person hat einen Stift von jeder Farbe dabei.
  4. Es gibt eine Person, die einen Stift dabei hat.
  5. Es gibt eine Farbe derart, dass jede Person einen Stift dieser Farbe dabei hat.
  6. Für alle Farben gibt es eine Person, die einen Stift dieser Farbe dabei hat.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang ins Freie kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

  1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
  2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?


Lösung Höhle/Taschenlampe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Das folgende Zitat zur Entwicklung der Zählkompetenz beim Kind ist dem didaktischen Projekt Kira entnommen.

„Phase 1 (verbales Zählen): Die Zahlwortreihe ist noch nicht strukturiert und wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidreivier). Die Zahlwörter werden noch nicht zum Zählen eingesetzt.

Phase 2 (asynchrones Zählen): Zahlwörter werden zum Zählen benutzt, allerdings werden noch oft Objekte vergessen oder mehrfach gezählt.

Phase 3 (Ordnen der Objekte während des Zählens): Kinder ordnen die Objekte, um sie besser zählen zu können (z.B. durch Wegschieben oder Umlegen während des Zählens).

Phase 4 (resultatives Zählen): Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen (und fangen auch immer mit der Eins an zu zählen), dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt.

Phase 5 (abkürzendes Zählen): Kinder können kleinere Mengen simultan erfassen, indem sie z.B. Strukturen bilden bzw. ausnutzen (z.B. werden fünf Plättchen, die wie das Bild der Fünf auf einem Würfel dargestellt werden, sofort als fünf erkannt). Sie können von einer beliebigen Zahl an zählen und das auch in Zweierschritten oder auch rückwärts (vgl. Hasemann 2007, S. 8f.).“

Bringe die beschriebenen Phasen mit abstrakten mathematischen Konzepten in Verbindung.


Lösung Zählen/Lernprozess/Mathematischer Vergleich/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe weiter

Es sei die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von , die Elemente aus sind also Mengen der Form mit . Wir definieren auf zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition

und die Multiplikation

  1. Berechne
  2. Man gebe Beispiele für jeweils zweielementige Mengen derart, dass das Produkt einmal , einmal und einmal Elemente besitzt.
  3. Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt ?
  4. Welche Eigenschaften eines kommutativen Ringes erfüllt ?
  5. Gilt
  6. Gilt


Lösung

  1. Es ist
  2. Bei ist

    Bei und ist

    Bei und ist

  3. Die beiden Verknüpfungen sind offenbar kommutativ. Für drei Mengen , und ist
    und das gleiche Ergebnis erhält man bei der anderen Klammerung. Somit ist die Addition assoziativ. Das gleiche Argument zeigt, dass auch die Multiplikation assoziativ ist. Wegen

    ist das neutrale Element der Addition. Wegen

    ist das neutrale Element der Multiplikation. Das Distributivgesetz gilt hingegen nicht, beispielsweise ist für , und einerseits

    und andererseits

    also (bei so ziemlich jeder Wahl der Elemente) verschieden.

  4. Die einzige zusätzliche zu betrachtende Eigenschaft bei einem Ring ist, ob jedes Element ein Negatives besitzt. Dies ist nicht der Fall, da beispielsweise jede zweielementige Menge die Eigenschaft besitzt, dass jede Addition eine zumindest zweielementige Menge ist und damit nicht das neutrale Element sein kann.
  5. Es gilt

    Ein Element aus

    hat die Form

    mit und . Ein solches Element gehört zu

  6. Im Allgemeinen gilt nicht

    Sei dazu und . Dann ist

    aber enthält auch das Element .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ist, die kein Vielfaches der ist und die keine Primzahl ist.


Lösung

Da es keine Primzahl sein soll, muss sie mindestens zwei (eventuell identische) Primfaktoren haben. Die Primfaktoren sind ausgeschlossen, da die letzte Ziffer sein muss, und nach Aufgabenstellung ist auch der Faktor ausgeschlossen. Das erste relevante Vielfache von ist

das erste relevante Vielfache von ist

dies ist die Antwort.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Lösung

Es sei fixiert. Bei gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten

übereinstimmt. Sei die Aussage also für ein zwischen und schon bewiesen. Jeder -elementigen Teilmenge von und jedem der Elemente aus kann man die -elementige Menge

zuordnen. Dabei wird jede -elementige Menge erreicht, und zwar -fach, da man ja aus jedes der Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl der -elementigen Teilmengen von und der Anzahl der -elementigen Teilmengen von besteht also der Zusammenhang

Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher


Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Andererseits ist auch


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch sagt: „Die ist keine negative Zahl, sie ist aber dennoch das Negative einer ganzen Zahl“. Ist dies paradox? Klären Sie die Situation.


Lösung Negative Zahlen/Negation/Paradoxe Formulierung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) Stunden nach vorne, dann Stunden zurück, dann Stunden zurück, dann Stunden nach vorne und dann Stunden zurück.

  1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
  2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?


Lösung

  1. Wir rechnen

    also Stunden zurück.

  2. Insgesamt reist sie

    Stunden, das verbraucht also Minuten, also eine Stunde und elf Minuten. Daher befindet sie sich am Ende der Zeitreise im Zeitpunkt vor Stunden und Minuten.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .


Lösung

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit (bzw. mit ) von links folgt, dass nur

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe Analogien zwischen Formeln, in denen Variablen vorkommen, und Axiomensystemen.


Lösung Variablen/Axiome/Analogien/Aufgabe/Lösung