Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 1 5 4 7 3 3 5 5 5 3 5 7 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Linearkombination zu Vektoren im .
  2. Die Matrizenmultiplikation.
  3. Die Transitivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Ein vollständig angeordneter Körper .
  6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung mit

und

Berechne .


Aufgabe * (1 Punkt)

3-simplex graph.svg

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  3. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder stets eine nichtkonstante Folge entsteht.


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

  1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  3. Es seien und reelle Folgen derart, dass gegen konvergiert. Es gebe ein mit

    für alle . Zeige, dass gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Konzepten Terme und Polynome.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Aufgabe * (5 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

  1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
  2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und es gelte

Zeige, dass es positive rationale Zahlen mit

gibt.


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

In einem Kurs nehmen Personen teil. Für die Person ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich . Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

  1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ist.
  2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ist.
  3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.