Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	7	5	3	2	2	4	9	2	3	8	5	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gerade in Punktvektorform im ${}K^{n}$.
2. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Eine Relation auf einer Menge ${}M$.
4. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Ein Winkel im Bogenmaß.
6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis ${}b>0$, ${}b\neq 1$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
3. Der Satz über die Verteilung bei einem ${}n$-fachen Münzwurf.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${}n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {8}}$ in ${}\mathbb {Z} /(17)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe * (9 (1+1+4+2+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge ${}0$ oder ${}1$ besitzt (Periodenlänge ${}0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$?
2. Gehört ${}{\frac {1}{45}}$ zu ${}M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch ${}a/b$ an, ob er zu ${}M$ gehört oder nicht?
4. Ist ${}M$ mit der Addition eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$?
5. Ist ${}M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ${}\mathbb {R}$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

1. Zeige die Abschätzungen

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,.$

2. Zeige die Abschätzungen

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zeige die Abschätzung

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe * (8 (3+2+2+1) Punkte)

Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine ${}1$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {5}{6}}$ bei einer ${}1$ und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{6}}$ auf eine ${}2$. Ein Kind, das zuvor eine ${}2,3,4$ oder ${}5$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$ bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{3}}$ um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{6}}$ um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine ${}6$ hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$ auf eine ${}5$ und bleibt mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$ bei der ${}6$.

Adriane hatte zuletzt eine ${}3$, dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine ${}1,2,3,4,5,6$ bekommt.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine ${}1$ bekommt?
3. Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine ${}3$. Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an ${}36$ Kinder)?
4. Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?