Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Übungsaufgaben


Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und

eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung

derart, dass die lineare Interpolation (zu dieser Unterteilung und zu ) die Eigenschaft

erfüllt.

(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen (gemessen in vertikaler Richtung) Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)


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