Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Auf der linken Tafel ist eine gewisse Anzahl von Äpfeln angemalt. Diese Anzahl soll durch eine Menschenkette in eine Strichfolge auf die rechte Tafel übertragen werden, wobei nur eine Person die Äpfel sehen darf. Es darf nicht gesprochen werden und niemand darf sich von der Stelle bewegen. Ebensowenig darf auf Zählkenntnisse Bezug genommen werden.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme Abbildungen darstellen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von ${}1$ bis ${}10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}M$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Mütter und ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow H,$

   die jeder Mutter ihr erstgeborenes Kind zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge ${}H$ aber durch die Menge ${}E$ der mütterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, die Menge ${}H$ aber durch die Menge ${}F$ der mütterlicher- oder väterlicherseits erstgeborenen Kinder ersetzt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Mengen

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$

und die Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

und

${}y$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$	${}e$	${}f$	${}g$
${}\psi (y)$	${}X$	${}Y$	${}R$	${}R$	${}T$	${}W$	${}U$

gegeben sind.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}\psi \circ \varphi$.
2. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ injektiv?
3. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ surjektiv?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte auf der Menge ${}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}2$	${}5$	${}6$	${}1$	${}4$	${}3$	${}7$	${}7$

gegeben ist. Berechne ${}\varphi ^{1003}$, also die ${}1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von ${}\varphi$ mit sich selbst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+2x+1\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}-5$

definiert sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ endlich mit ${}n$ Elementen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Zeige: Wenn ${}L$ endlich mit ${}n$ Elementen ist, so ist auch ${}M$ endlich mit ${}n$ Elementen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}S$ und ${}T$ endliche Teilmengen einer Menge ${}M$. Zeige, dass dann auch die Vereinigung ${}S\cup T$ endlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Mustafa Müller und Heinz Ngolo haben jeweils mit einer Strichliste ${}{|}{|}{|}\ldots {|}{|}{|}$ ihre Fußballbildchen gezählt. Sie wollen wissen, wer mehr Bildchen hat, die Listen sind aber ziemlich lang und beim Zählen kommen sie durcheinander. Mustafa macht den Vorschlag, in der Liste immer vier Striche durch einen Querstrich zusammenzufassen und dann diese Blöcke zu zählen. Heinz sagt, dass das nicht geht, da so Fünferblöcke entstehen und dadurch das Ergebnis verfälscht wird. Was sagt Gabi Hochster?

In der folgenden Aufgabe bezeichnet ${}\varphi (S)$ die Menge ${}{\left\{\varphi (x)\mid x\in S\right\}}$ und ${}\varphi ^{-1}(T)$ die Menge ${}{\left\{x\in L\mid \varphi (x)\in T\right\}}$. Bestimme diese Mengen für die Heinonummierung für die Menge ${}S=\{1,2,3,4,5\}$ und ${}T=\{G,H,L,M\}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei Mengen und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}S\subseteq L$ eine Bijektion ${}S\rightarrow \varphi (S)$ vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ eine Bijektion ${}\varphi ^{-1}(T)\rightarrow T$ vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Mengen

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$

und die Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}i$	${}a$	${}g$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$

und

${}y$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$	${}e$	${}f$	${}g$	${}h$	${}i$
${}\psi (y)$	${}X$	${}Z$	${}Y$	${}S$	${}Z$	${}S$	${}T$	${}W$	${}U$

gegeben sind.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}\psi \circ \varphi$.
2. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ injektiv?
3. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ surjektiv?

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
2. Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
3. Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zuletzt) konstant?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\mathbb {R}$ die reellen Zahlen und ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ die nichtnegativen reellen Zahlen. Bestimme für die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv und ob sie surjektiv sind.

1. $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

2. $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2}.$

3. $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

4. $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.