Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ und Ereignisse ${}E,F_{1},F_{2}\subseteq M$ derart, dass ${}E$ zu ${}F_{1}$ und zu ${}F_{2}$ unabhängig ist, aber nicht zu ${}F_{1}\cap F_{2}$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Lieblingseissorten von Lucy Sonnenschein sind Himbeereis, Heidelbeereis und Erdbeereis, die sie stets mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{3}}$ auswählt. Sie steht am Eisstand und wählt hintereinander und unabhängig voneinander drei Kugeln aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede ihrer Lieblingssorte in ihrem Becher vertreten ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,P)$ ein Laplace-Raum mit ${}n$ Elementen und seien ${}E,F\subseteq M$ Ereignisse.

1. Zeige, dass ${}E$ und ${}F$ genau dann unabhängig sind, wenn

   ${}n\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,$

   gilt.

2. Zeige durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von ${}n$ sind.
3. Es seien ${}r,s$ natürliche Zahlen mit ${}0\leq r,s\leq n$ und derart, dass ${}n$ ein Teiler von ${}rs$ ist. Zeige, dass es unabhängige Ereignisse in ${}M$ gibt, deren Anzahlen gleich ${}r$ bzw. ${}s$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}E,F\subseteq M$ Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$ mit positiven Wahrscheinlichkeiten und mit

${}E\cap F=\emptyset \,.$

Zeige, dass ${}E$ und ${}F$ nicht unabhängig sein können.

Aufgabe

Es seien ${}M=\{a,b,c\}$ und ${}N=\{r,s\}$ Laplace-Räume und ${}M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in ${}M\times N$ zueinander unabhängig sind.

$E=\{a,b\}\times \{r\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,r)\},\,H=\{(b,r),(c,s)\},\,I=M\times \{r\},\,J=\{(b,r),(b,s)\}.$

Aufgabe *

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt ${}0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?

Aufgabe *

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\geq 50\,$

ist.

Aufgabe *

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Quadratzahl ist.

Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Es wird zwanzig Mal eine faire Münze geworfen. Bei den ersten zehn Würfen lautet das Ergebnis sechsmal Kopf, bei den zweiten zehn Würfen lautet das Ergebnis viermal Kopf. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Aufgabe

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es sei ${}F_{i}$ das Ereignis, dass beim ersten Wurf ${}i$ geworfen wird, es sei ${}G_{j}$ das Ereignis, dass beim zweiten Wurf ${}j$ geworfen wird, und es sei ${}E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist. Welche dieser Ereignisse sind unabhängig, welche nicht?

Aufgabe

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Es sei ${}E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist, und es sei ${}F$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim dritten Wurf um eins größer als beim zweiten Wurf ist. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine gerade Zahl gezogen wird. Es sei ${}U$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine ungerade Zahl gezogen wird. Sind diese Ereignisse unabhängig voneinander?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M=\{a,b,c,d\}$ und ${}N=\{x,y,z\}$ Laplace-Räume und ${}M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in ${}M\times N$ zueinander unabhängig sind.

$E=\{a,b,d\}\times \{y,z\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,y)\},\,H=\{(b,y),(d,z)\},$

$I=M\times \{z\},\,J=\{(b,x),(b,y),(b,z)\},\,K=\{a\}\times N,\,L=M\times \{x,y\},$

Aufgabe (5 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zum Schluss wieder in ihrem Ausgangspunkt befindet?

Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\leq 32\,$

ist.