Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 58

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Überprüfe das sogenannte Geburtstagsparadoxon anhand der anwesenden Personen. Das Geburtstagsparadoxon besagt, dass unter relativ wenig Leuten überraschend oft zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Bei Leuten beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür schon , bei Personen sogar .




Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Menge sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

versehen. Es sei und . Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit .


Aufgabe

Eine faire Münze wird elfmal geworfen. Es sei das Ereignis, dass bei den ersten zehn Würfen stets Kopf geworfen wird. Es sei das Ereignis, dass beim -ten Wurf Kopf geworfen wird. Bestimme

für .


Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen drei Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, drei Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?


Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen fünf Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, fünf Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?


Aufgabe

Fredo erfährt, dass er beim Lotto sechs Richtige hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen genau in der Reihenfolge gezogen wurden, wie er sie angekreuzt hatte?


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ein weiteres Ereignis und es gelte

zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ein Element mit einer positiven Wahrscheinlichkeit. Zeige


Aufgabe *

In einem Kurs nehmen Personen teil. Für die Person ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich . Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

  1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ist.
  2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ist.
  3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.


Aufgabe

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu . Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu . Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, obwohl der Test ihn nicht erkannt hat?


Aufgabe

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu . Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu . Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien Ereignisse mit und mit . Zeige


Aufgabe

Ein Aufschrei geht durch die sozialen Medien: An der Tanzhochschule „Parkettschwingungen“ haben sich Frauen und Männer für die beiden Fächer Ausdruckstanz und Choreographie beworben, dabei bekamen Frauen einen Studienplatz, aber nur Männer. Die Tanzbegabungen und sonstige Zeugnisse waren bei allen Bewerbern und Bewerberinnnen sehr gut. Ein klarer Fall: Diese Schule diskriminiert Männer!

Lässt sich dieser Vorwurf angesichts der folgenden Tabelle, die die genauere Information entlang der beiden einzelnen Fächer beinhaltet, aufrechterhalten?


Bewerbungen Männer Bewerbungen Frauen Angenommene Männer Angenommene Frauen Annahmequote Männer Annahmequote Frauen
Ausdruckstanz
Choreographie
Insgesamt


Aufgabe

Erläutere die Beobachtungen in Aufgabe 58.13 mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die Menge sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

versehen. Es sei und . Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien Ereignisse, deren Gesamtdurchschnitt eine positive Wahrscheinlichkeit besitze. Zeige


Aufgabe (3 Punkte)

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu . Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu . Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein gestaffelter Eignungstest ist in drei Runden aufgebaut, wobei man die vorhergehende Runde überstehen muss, um in die nächste Runde zu gelangen. Die erste Runde überstehen , die zweite Runde überstehen und die dritte Runde überstehen .

  1. Beschreibe diese Daten mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit.
  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Erstrundenteilnehmer alle drei Runden?
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Zweitrundenteilnehmer alle drei Runden?



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