Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Halbiere die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Haben Sie schon einmal in einer Zeitung einen Ausdruck der Form $2,\overline{17}$ (Periodenüberstrich) oder $2,\mathrm{17171717...}$ gesehen? Warum nicht? Welche Kommazahlen kommen in der Zeitung (in einer Anleitung, bei einer Messung, in einer technischen Beschreibung) vor?

Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?

$\frac{3}{6},\frac{2}{6},\frac{2}{6}\cdot 15,2^{-3}\cdot 7\cdot 11,2^{-3}\cdot 7\cdot 11^{-1},\sum _{n=1}^6\frac{1}{n}.$

Aufgabe

Berechne $\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,2}$.

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{0,000000000000000007}\cdot \mathrm{0,0000000000000006.}$

Aufgabe

Berechne $\mathrm{1,0205}\cdot \mathrm{0,0073}$.

Aufgabe *

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von $\frac{1}{84}$, das ein Dezimalbruch ist?

Aufgabe

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen $a_1$ und $a_2$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

Aufgabe *

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als $\frac{1}{100}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen $\frac{1}{1000}$ und $1$ (einschließlich).

Aufgabe

Berechne

$(3\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3})\cdot (5\cdot 10^2+9\cdot 10^1+5\cdot 10^0+2\cdot 10^{-1}+4\cdot 10^{-3}).$

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{6,9}\cdot 10^{-4}\cdot \mathrm{7,3}\cdot 10^{-9}.$

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{4,3}\cdot 10^{-6}+\mathrm{6,4}\cdot 10^{-5}.$

Aufgabe *

Berechne

$\mathrm{0,00000029}\cdot \mathrm{0,00000000037.}$

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Aufgabe

Lucy Sonnenschein ist in einem Geschäft und interessiert sich für eine blaugrün-karierte Bluse. Sie fragt den Verkäufer nach dem Preis und dieser sagt „ich glaube, die kostet $67,40$, ich muss aber noch mal kurz nachschauen“. Als er zurückkommt, sagt er „das war fast genau richtig, ich hab mich nur bei einer Ziffer vertan, der genaue Preis ist “

$67,43\text{ (Variante A)},$

$367,40\text{ (Variante B)}.$

Beurteile den Fehler in den beiden Varianten.

Aufgabe *

Ist die Zahl

$\sum _{n=1}^{10}\frac{1}{n}.$

ein Dezimalbruch?

Aufgabe *

Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form $2^i\cdot 5^j$ mit $i,j\in \mathbb{N}$ besitzt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung $\phi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

$z=\sum _{i=m}^n{a}_{i}10^i$

auf

$\phi (z)=\sum _{i=m}^n{a}_{i}10^{-i}$

abbildet. Bei $\phi (z)$ bezieht sich also die Ziffer $a_i$ nicht mehr auf $10^i$, sondern auf $10^{-i}$.

1. Berechne $\phi (514,73)$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter $\phi$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   $\phi (z+w)=\phi (z)+\phi (w)?$

4. Zeige, dass die Beziehung

   $\phi (10^k\cdot z)=\frac{1}{10^k}\cdot \phi (z)$

   für alle Dezimalbrüche $z$ und ganze Zahlen $k$ gilt.

5. Ist $\phi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

Aufgabe

Eine rationale Zahl $z\ne 0$ sei in der Form

$\pm \prod _{p\text{ Primzahl}}{p}^{{\nu }_p(z)}$

gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

Aufgabe

Berechne im $7$er-System

$\mathrm{0,026}\cdot \mathrm{3,605.}$

Aufgabe

Berechne im $5$er-System

$\mathrm{0,0230241}\cdot \mathrm{32,1102}+\mathrm{4,301}\cdot \mathrm{2,133.}$

Aufgabe *

Es seien $a\ne b$ Basen zu einem Stellenwertsystem ($a$-er System und $b$-er System). Es sei $z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?

Eine Teilmenge  $S\subseteq R$  eines kommutativen Ringes $R$ heißt Unterring, wenn $0,1,-1\in S$ ist und wenn $S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von $\mathbb{Q}$ bildet.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq \mathbb{P}$  eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$\begin{array}{cc}{R}_T& =\{q\in \mathbb{Q}\mid q\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }T\text{ vorkommen}\}\end{array}$

ein Unterring von $\mathbb{Q}$ ist. Was ergibt sich bei  $T=\mathrm{\varnothing }$,   $T=\{3\}$,   $T=\{2,5\}$,   $T=\mathbb{P}$? 

Aufgabe

Bestätige die Abschätzungen

$\mathrm{0,428571428}<\frac{3}{7}<\mathrm{0,428571429}$

aus Beispiel 26.10 durch Multiplikation der Abschätzungen mit $7$.

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl $\frac{7}{3}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-4}$.

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl $\frac{1}{6}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-2}$.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes $k\in {\mathbb{N}}_{+}$ der Dezimalbruch

$\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$

die rationale Zahl $\frac{1}{3}$ mit einem Fehler von maximal $10^{-k}$ approximiert (von unten).

Aufgabe

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.

$\mathrm{7,874802},\frac{4}{9},\frac{3}{13},4\cdot 5^{-1}\cdot 6^{-1}.$

Aufgabe *

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. $65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht?

Aufgabe

Halbiere den Dezimalbruch $\mathrm{297,0752209}$.

Aufgabe *

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$\mathrm{760982393473,90354771045729}$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches

$\mathrm{7601,4550738.}$

Aufgabe

Begründe, dass sich bei der Halbierung (und bei der Fünftelung) eines Dezimalbruches die Anzahl der Nachkommastellen um höchstens $1$ erhöht.

Aufgabe *

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Aufgabe

Die Schüler sollen die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der $5$, also $5^1,5^2,5^3,\mathrm{...}$ auszurechnen. Er sagt: „Hast du wieder nicht aufgepasst“? Sie sagt: „Doch, das ist doch das gleiche“. Wer hat recht?

Man nennt einen Algorithmus parallelisierbar, wenn man ihn in einfachere Teilalgorithmen aufspalten kann, die in dem Sinne voneinander unabhängig sind, dass sie nicht die Ergebnisse voneinander benötigen (es entstehen also keine Wartezeiten).

Aufgabe

Die Klasse soll den fünften Teil einer Zahl ausrechnen, die im Zehnersystem durch $27$ Ziffern gegeben ist. In der Klasse gibt es $28$ Kinder. Wie teilt Gabi Hochster die Aufgabe auf?

Inwiefern ist die Halbierung (Fünftelung) eines Dezimalbruches parallelisierbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine $3\text{ plus}$ ($=\mathrm{2,7}$), eine $1\text{ minus}$ ($=\mathrm{1,3}$), eine $3$ und eine $2\text{ plus}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne $\mathrm{401,0013507}\cdot \mathrm{0,002056}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Approximiere die rationale Zahl $\frac{1}{7}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-6}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Halbiere den Dezimalbruch $\mathrm{30437,09134508902}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$\mathrm{876059301193674,2903347310459901}$

die fünfte Nachkommaziffer.