Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{H=K[X ]}{} sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten \zusatzklammer {additiven} {} {} $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{} versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $L$ die \definitionsverweis {induzierte Gruppenstruktur}{}{} auf
\mathl{L \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( H \right) } \right) } (L)}{} mit der Addition auf $L$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $H$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{} zusammen mit einer \definitionsverweis {Kooperation}{}{} auf der kommutativen $K$-Algebra $R$. Wir betrachten die beiden $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} \maabbdisp {N} {R} { H \otimes_{ K } R } {} \zusatzklammer {die Kooperation} {} {} und \maabbeledisp {\iota_2} {R} { H \otimes_{ K } R } {r} { 1 \otimes r } {.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ r \in R \mid N (r) = \iota_2(r) \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $R$ ist.

}
{} {}

Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den \stichwort {Invariantenring der Kooperation} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine Menge, auf der eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ \definitionsverweis {operiere}{}{,} und sei \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} in eine weitere Menge $Y$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist, wenn das Diagramm
\mathdisp {G \times X \stackrel{\nu, p_2}{\longrightarrow} X \longrightarrow Y} { }
kommutiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf der eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} \aufzaehlungzwei {Definiere eine \definitionsverweis {Kooperation}{}{} der \definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
\mathl{H=\operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }}{} auf $R$ derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt. } {Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} $R^G$ mit dem \definitionsverweis {Invariantenring zur Kooperation}{}{} übereinstimmt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{K[D]}{} der zugehörige \definitionsverweis {Gruppenring}{}{} mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen \definitionsverweis {Hopf-Struktur}{}{.} Es sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} \aufzaehlungdrei{Es liege eine $D$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{} von $A$ \zusatzklammer {als $K$-Algebra} {} {} vor. Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {A} { K[D] \otimes_{ K } A } {a_d} { T^d \otimes a_d } {,} eine $K$-\definitionsverweis {Kooperation}{}{} der \definitionsverweis {Hopf-Algebra}{}{}
\mathl{K[D]}{} auf $A$ festgelegt wird. }{Es liege eine $K$-Kooperation \maabbdisp {N} { A} { K[D] \otimes_{ K } A } {} von
\mathl{K[D]}{} auf $A$ vor. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_d }
{ \defeq} { { \left\{ a \in A \mid T^d \otimes a = N(a) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine $D$-Graduierung auf $A$ festgelegt wird. }{Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A=K[X_1 , \ldots , X_n]$. Definiere eine \definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{} auf $A$ derart, dass zu jeder kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $L$ ein natürlicher \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Spek} { \left( K[X_1 , \ldots , X_n] \right) } \right) } (L) }
{ \cong} {(L^n,+) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in R}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {R[T_1 , \ldots , T_n ]/(f_1T_1 + \cdots + f_nT_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere eine \definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{} auf $A$ \zusatzklammer {über $R$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f_1 , \ldots , f_n, f \in R}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {R[T_1 , \ldots , T_n ]/(f_1T_1 + \cdots + f_nT_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten \definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B }
{ =} {R[T_1 , \ldots , T_n ]/(f_1T_1 + \cdots + f_nT_n + f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere eine \definitionsverweis {Kooperation}{}{} von $A$ auf $B$ \zusatzklammer {über $R$} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{H=K[X,X^{-1}]=K[X]_X}{} sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten \zusatzklammer {multiplikativen} {} {} $K$-\definitionsverweis {Hopf-Algebrastruktur}{}{} versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $L$ die \definitionsverweis {induzierte Gruppenstruktur}{}{} auf
\mathl{L^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( H \right) } \right) } (L)}{} mit der Multiplikation übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{K[D]}{} der zugehörige \definitionsverweis {Gruppenring}{}{.} Bestimme zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die Gruppe
\mathl{{ \left( \operatorname{Spek} { \left( K[D] \right) } \right) } (L)}{.}

}
{} {}