Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i} }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{} $S_3$ die uneigentliche Symmetriegruppe eines \definitionsverweis {gleichseitigen Dreiecks}{}{} ist und die \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} $A_3$ dabei die \definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{} ist. Ebenso für die $S_4$, die $A_4$ und das \zusatzklammer {gleichseitige} {} {} \definitionsverweis {Tetraeder}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie findet man die in Aufgabe 6.2 angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der \mathkor {} {S_3} {bzw.} {S_4} {} auf dem \mathkor {} {\R^3} {bzw.} {\R^4} {} wieder?

}
{} {Man denke an Aufgabe 3.16.}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke das Quadrat der \definitionsverweis {Vandermondeschen Determinante}{}{} mit den \definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass ein Element
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} allenfalls bezüglich eines \definitionsverweis {Charakters}{}{} \definitionsverweis {semiinvariant}{}{} sein kann.

}
{} {}

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ \definitionsverweis {operiere}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswortpraemath {G}{ invariant }{,} wenn zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ \definitionsverweis {operiere}{}{} und es sei
\mathl{T \subseteq M}{} eine \definitionsverweis {Teilmenge}{}{.} Zeige, dass $T$ genau dann eine $G$-\definitionsverweis {invariante Teilmenge}{}{} ist, wenn $T$ eine \definitionsverweis {Vereinigung}{}{} von \definitionsverweis {Bahnen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei
\mathl{T \subseteq M}{} eine $G$-\definitionsverweis {invariante Teilmenge}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Es gibt eine natürliche Abbildung \maabbdisp {\varphi} { T \backslash G} { M \backslash G } {} zwischen den \definitionsverweis {Bahnenräumen}{}{.} }{Die Abbildung $\varphi$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{.} }{Die Abbildung $\varphi$ muss nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} sein. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} das unter der Gruppenoperation \definitionsverweis {invariant}{}{} ist \zusatzklammer {es gelte also
\mathl{f \sigma \in {\mathfrak a}}{} für
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} und jedes
\mathl{\sigma \in G}{}} {} {.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} }{Es gibt einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\psi} {R^G/ { \left( {\mathfrak a} \cap R^G \right) } } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^G } {.} }{Die Abbildung $\psi$ aus Teil (2) ist injektiv. }{Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass der \definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{} zur \definitionsverweis {Operation}{}{} einer \definitionsverweis {endlichen Gruppe}{}{} auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R\subseteq S}{} ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.} Es sei $I \subseteq R$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} und
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass aus
\mathl{f \in IS}{} die Zugehörigkeit
\mathl{f \in I}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,} wobei $R$ ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von $S$ sei, sagen wir
\mathl{S=R \oplus V}{} mit einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $V$. Zeige, dass für ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
\mathl{M \subseteq R}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_M }
{ =} { R_M \oplus V_M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,} wobei $R$ ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von $S$ sei, sagen wir
\mathl{S=R \oplus V}{} mit einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $V$. Zeige, dass für ein \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{I \subseteq R}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S /IS }
{ =} { R/I \oplus V/IV }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_n$ auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Bestimme \zusatzklammer {zu \mathlk{n=2,3,4}{} und in geeigneter \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}} {} {} für jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subseteq S_n}{} den \definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{} von $R$ nach $R^H$.

}
{} {}

In Beispiel 6.9 trat eine sogenannte \stichwort {erzwingende Algebra} {} auf.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}=(f_1 , \ldots , f_n)}{} ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f \in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R[T_1, \ldots , T_{n}]/(f_1 T_{1} + \cdots + f_{n}T_{n}+f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus \maabb {\varphi} {R} {S } {} in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mathl{\varphi(f) \in {\mathfrak a}S}{} gibt es einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{} \maabb {\vartheta} {A} {S } {.} Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{} und
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.} Die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{K^{\times}}{} \definitionsverweis {operiert linear}{}{} auf $K^n$ und auf dem Polynomring durch \definitionsverweis {skalare Multiplikation}{}{.} Zeige, dass die $d$-te \definitionsverweis {Stufe}{}{} $R_d$ mit dem Raum der \definitionsverweis {relativen Invarianten}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Charakters}{}{} \maabbeledisp {} { K^{\times} } { K^{\times} } { z} {z^d } {,} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Zu jedem
\mathl{k \in \N}{} und jedem
\mathl{f \in R}{} ist der Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi_k(f) }
{ =} { \sum_{T \subseteq G,\, { \# \left( T \right) } = k } \prod_{\sigma \in T} f \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {invariant}{}{.} }{Wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ enthält, so erzeugen die
\mathbed {\psi_k(f)} {}
{f \in R} {,}
{k \in \N} {} {} {,} den Invariantenring. }{Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere, wobei die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $G$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $R$ sei. Es sei
\mathl{H \subseteq G}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Es sei $\rho$ der \definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{} zu $G$, $\delta$ der Reynolds-Operator zu $H$ und $\gamma$ der Reynolds-Operator zur Operation von
\mathl{G/H}{} auf $R^H$ \zusatzklammer {siehe Proposition 5.1} {} {.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho }
{ =} { \gamma \circ \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}