Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 6

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass die symmetrische Gruppe die uneigentliche Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist und die alternierende Gruppe dabei die eigentliche Symmetriegruppe ist. Ebenso für die , die und das (gleichseitige) Tetraeder.


Aufgabe

Wie findet man die in Aufgabe 6.2 angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der bzw. auf dem bzw. wieder?

Man denke an Aufgabe 3.16.

Aufgabe


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Zeige, dass ein Element , , allenfalls bezüglich eines Charakters semiinvariant sein kann.


Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere. Eine Teilmenge heißt -invariant, wenn zu jedem und jedem auch gilt.


Aufgabe

Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere und es sei eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann eine -invariante Teilmenge ist, wenn eine Vereinigung von Bahnen ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere. Es sei eine -invariante Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es gibt eine natürliche Abbildung

    zwischen den Bahnenräumen.

  2. Die Abbildung ist injektiv.
  3. Die Abbildung muss nicht surjektiv sein.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also für und jedes ). Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es gibt eine natürliche Operation von auf dem Restklassenring .
  2. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  3. Die Abbildung aus Teil (2) ist injektiv.
  4. Wenn endlich ist und einen Körper der Charakteristik enthält, so ist surjektiv.


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass der Reynolds-Operator zur Operation einer endlichen Gruppe auf einem kommutativen Ring kein Ringhomomorphismus sein muss.


Aufgabe

Es sei ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei ein Ideal und . Zeige, dass aus die Zugehörigkeit folgt.


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe, wobei ein direkter Summand von sei, sagen wir mit einem -Modul . Zeige, dass für ein multiplikatives System die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe, wobei ein direkter Summand von sei, sagen wir mit einem -Modul . Zeige, dass für ein Ideal die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe auf dem Polynomring über einem Körper . Bestimme (zu und in geeigneter Charakteristik) für jede Untergruppe den Reynolds-Operator von nach .


In Beispiel 6.9 trat eine sogenannte erzwingende Algebra auf.

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ein weiteres Element. Dann nennt man die -Algebra

die erzwingende Algebra zu den . Zeige, dass folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus in einen kommutativen Ring mit der Eigenschaft gibt es einen -Algebrahomomorphismus . Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein unendlicher Körper und der Polynomring über mit der Standardgraduierung. Die Einheitengruppe operiert linear auf und auf dem Polynomring durch skalare Multiplikation. Zeige, dass die -te Stufe mit dem Raum der relativen Invarianten bezüglich des Charakters

übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu jedem und jedem ist der Ausdruck

    invariant.

  2. Wenn einen Körper der Charakteristik enthält, so erzeugen die ,  , , den Invariantenring.
  3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Ordnung von eine Einheit in sei. Es sei ein Normalteiler. Es sei der Reynolds-Operator zu , der Reynolds-Operator zu und der Reynolds-Operator zur Operation von auf (siehe Proposition 5.1). Zeige



<< | Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)