Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 6

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei  $M=\{1,\dots ,n\}$  und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

$a_{\pi (i),i}=1$

ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass

$det{M}_{\pi }=\mathrm{sgn}(\pi )$

ist.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die symmetrische Gruppe $S_3$ die uneigentliche Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist und die alternierende Gruppe $A_3$ dabei die eigentliche Symmetriegruppe ist. Ebenso für die $S_4$, die $A_4$ und das (gleichseitige) Tetraeder.

Aufgabe

Wie findet man die in Aufgabe 6.2 angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der $S_3$ bzw. $S_4$ auf dem ${ℝ}^3$ bzw. ${ℝ}^4$ wieder?

Man denke an Aufgabe 3.16.

Aufgabe

Drücke das Quadrat der Vandermondeschen Determinante mit den elementarsymmetrischen Polynomen aus.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Zeige, dass ein Element $f\in R$, $f\ne 0$, allenfalls bezüglich eines Charakters semiinvariant sein kann.

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere. Eine Teilmenge  $T\subseteq M$  heißt $G$-invariant, wenn zu jedem  $x\in T$  und jedem  $\sigma \in G$  auch  $\sigma x\in T$  gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere und es sei  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann eine $G$-invariante Teilmenge ist, wenn $T$ eine Vereinigung von Bahnen ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere. Es sei  $T\subseteq M$  eine $G$-invariante Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine natürliche Abbildung

$\phi :T\mathrm{\setminus }G⟶M\mathrm{\setminus }G$

zwischen den Bahnenräumen.

b) Die Abbildung $\phi$ ist injektiv.

c) Die Abbildung $\phi$ muss nicht surjektiv sein.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also $f\sigma \in 𝔞$ für $f\in 𝔞$ und jedes $\sigma \in G$). Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem Restklassenring $R/𝔞$.

b) Es gibt einen Ringhomomorphismus

$\psi :R^G/(𝔞\cap R^G)⟶{(R/𝔞)}^G.$

c) Die Abbildung $\psi$ aus Teil (b) ist injektiv.

d) Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der Charakteristik $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass der Reynolds-Operator zur Operation einer endlichen Gruppe auf einem kommutativen Ring kein Ringhomomorphismus sein muss.

Aufgabe

Es sei  $R\subseteq S$  ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei  $I\subseteq R$  ein Ideal und  $f\in R$.  Zeige, dass aus  $f\in IS$  die Zugehörigkeit  $f\in I$  folgt.

Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe, wobei $R$ ein direkter Summand von $S$ sei, sagen wir  $S=R\oplus V$  mit einem $R$-Modul $V$. Zeige, dass für ein multiplikatives System  $M\subseteq R$  die Beziehung

$S_M=R_M\oplus V_M$

gilt.

Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe, wobei $R$ ein direkter Summand von $S$ sei, sagen wir  $S=R\oplus V$  mit einem $R$-Modul $V$. Zeige, dass für ein Ideal  $I\subseteq R$  die Beziehung

$S/IS=R/I\oplus V/IV$

gilt.

Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe $S_n$ auf dem Polynomring  $R=K[X_1,\dots ,X_n]$  über einem Körper $K$. Bestimme (zu $n=2,3,4$ und in geeigneter Charakteristik) für jede Untergruppe  $H\subseteq S_n$  den Reynolds-Operator von $R$ nach $R^H$.

In Beispiel 6.9 trat eine sogenannte erzwingende Algebra auf.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $𝔞=(f_1,\dots ,f_n)$  ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei  $f\in R$  ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra

$A=R[T_1,\dots ,T_n]/(f_1{T}_1+\cdots +f_n{T}_n+f)$

die erzwingende Algebra zu den $f_1,\dots ,f_n,f$. Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus $\phi :R\to S$ in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft  $\phi (f)\in 𝔞S$  gibt es einen $R$-Algebrahomomorphismus $\vartheta :A\to S$. Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und  $R=K[X_1,\dots ,X_n]$  der Polynomring über $K$ mit der Standardgraduierung. Die Einheitengruppe $K^{\times }$ operiert linear auf $K^n$ und auf dem Polynomring durch skalare Multiplikation. Zeige, dass die $d$-te Stufe $R_d$ mit dem Raum der relativen Invarianten bezüglich des Charakters

$K^{\times }⟶K^{\times },z⟼z^d,$

übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Zu jedem  $k\in \mathbb{N}$  und jedem  $f\in R$  ist der Ausdruck

${\psi }_k(f)=\sum _{T\subseteq G,\mathrm{\#}\left(T\right)=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma$

invariant.

b) Wenn $R$ einen Körper der Charakteristik $0$ enthält, so erzeugen die ${\psi }_k(f)$, $f\in R$ , $k\in \mathbb{N}$, den Invariantenring.

c) Teil b) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Ordnung von $G$ eine Einheit in $R$ sei. Es sei  $H\subseteq G$  ein Normalteiler. Es sei $\rho$ der Reynolds-Operator zu $G$, $\delta$ der Reynolds-Operator zu $H$ und $\gamma$ der Reynolds-Operator zur Operation von $G/H$ auf $R^H$ (siehe Proposition 5.1). Zeige

$\rho =\gamma \circ \delta .$