Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 6

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

${}a_{\pi (i),i}=1\,$

ist und alle anderen Einträge ${}0$ sind. Zeige, dass

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$

ist.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die symmetrische Gruppe ${}S_{3}$ die uneigentliche Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist und die alternierende Gruppe ${}A_{3}$ dabei die eigentliche Symmetriegruppe ist. Ebenso für die ${}S_{4}$, die ${}A_{4}$ und das (gleichseitige) Tetraeder.

Aufgabe

Wie findet man die in Aufgabe 6.2 angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der ${}S_{3}$ bzw. ${}S_{4}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ bzw. ${}\mathbb {R} ^{4}$ wieder?

Man denke an Aufgabe 3.16.

Aufgabe

Drücke das Quadrat der Vandermondeschen Determinante mit den elementarsymmetrischen Polynomen aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra, auf der eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Zeige, dass ein Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, allenfalls bezüglich eines Charakters semiinvariant sein kann.

Es sei ${}M$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ${}G$-invariant, wenn zu jedem ${}x\in T$ und jedem ${}\sigma \in G$ auch ${}\sigma x\in T$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere und es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann eine ${}G$- invariante Teilmenge ist, wenn ${}T$ eine Vereinigung von Bahnen ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere. Es sei ${}T\subseteq M$ eine ${}G$- invariante Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Abbildung

   $\varphi \colon T\backslash G\longrightarrow M\backslash G$

   zwischen den Bahnenräumen.

2. Die Abbildung ${}\varphi$ ist injektiv.
3. Die Abbildung ${}\varphi$ muss nicht surjektiv sein.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also ${}f\sigma \in {\mathfrak {a}}$ für ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und jedes ${}\sigma \in G$). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Operation von ${}G$ auf dem Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$.
2. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.$

3. Die Abbildung ${}\psi$ aus Teil (2) ist injektiv.
4. Wenn ${}G$ endlich ist und ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so ist ${}\psi$ surjektiv.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass der Reynolds-Operator zur Operation einer endlichen Gruppe auf einem kommutativen Ring kein Ringhomomorphismus sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei ${}I\subseteq R$ ein Ideal und ${}f\in R$. Zeige, dass aus ${}f\in IS$ die Zugehörigkeit ${}f\in I$ folgt.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe, wobei ${}R$ ein direkter Summand von ${}S$ sei, sagen wir ${}S=R\oplus V$ mit einem ${}R$- Modul ${}V$. Zeige, dass für ein multiplikatives System ${}M\subseteq R$ die Beziehung

${}S_{M}=R_{M}\oplus V_{M}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe, wobei ${}R$ ein direkter Summand von ${}S$ sei, sagen wir ${}S=R\oplus V$ mit einem ${}R$- Modul ${}V$. Zeige, dass für ein Ideal ${}I\subseteq R$ die Beziehung

${}S/IS=R/I\oplus V/IV\,$

gilt.

Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$. Bestimme (zu $n=2,3,4$ und in geeigneter Charakteristik) für jede Untergruppe ${}H\subseteq S_{n}$ den Reynolds-Operator von ${}R$ nach ${}R^{H}$.

In Beispiel 6.9 trat eine sogenannte erzwingende Algebra auf.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ${}f\in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die ${}R$-Algebra

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$

die erzwingende Algebra zu den ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f$. Zeige, dass ${}A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ in einen kommutativen Ring ${}S$ mit der Eigenschaft ${}\varphi (f)\in {\mathfrak {a}}S$ gibt es einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}\vartheta \colon A\rightarrow S$. Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ mit der Standardgraduierung. Die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ operiert linear auf ${}K^{n}$ und auf dem Polynomring durch skalare Multiplikation. Zeige, dass die ${}d$-te Stufe ${}R_{d}$ mit dem Raum der relativen Invarianten bezüglich des Charakters

$K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,z\longmapsto z^{d},$

übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und jedem ${}f\in R$ ist der Ausdruck

   ${}\psi _{k}(f)=\sum _{T\subseteq G,\,{\#\left(T\right)}=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma \,$

   invariant.

2. Wenn ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so erzeugen die ${}\psi _{k}(f)$, ${}f\in R$ , ${}k\in \mathbb {N}$, den Invariantenring.
3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Ordnung von ${}G$ eine Einheit in ${}R$ sei. Es sei ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}\rho$ der Reynolds-Operator zu ${}G$, ${}\delta$ der Reynolds-Operator zu ${}H$ und ${}\gamma$ der Reynolds-Operator zur Operation von ${}G/H$ auf ${}R^{H}$ (siehe Proposition 5.1). Zeige

${}\rho =\gamma \circ \delta \,.$