Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 7

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Zeige und folgere, dass eine -Unteralgebra von ist.


In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten.

Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid der -Vektorraum

ein Unterring von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

ein Untermonoid von ist.


Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Ein -Automorphismus

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element gilt .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass der in Lemma 7.9 zu einem Charakter eingeführte Automorphismus

homogen ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein kommutativer -graduierter Ring. Es sei

ein Gruppenhomomorphismus mit . Zeige folgende Aussagen.

  1. ist in natürlicher Weise -graduiert.
  2. Die Operation von auf im Sinne von Lemma 7.9 stimmt mit der Operation via

    überein.

  3. Die neutrale Stufe von bezüglich der -Graduierung ist . Dieser Ring ist -graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von in der -Graduierung überein.
  4. Vergleiche die letzte Aussage mit Proposition 5.1.


Aufgabe

Beschreibe im Sinne von Aufgabe 7.5, wie auf dem Polynomring ( ein kommutativer Ring) die feine Graduierung mit der Standardgraduierung zusammenhängt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass es auf dem Polynomring keine kanonische feine Graduierung gibt.


Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ebenfalls -graduiert ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Gruppenoperation

Bestimme die Bahnen der Operation. Ist der Quotient (versehen mit der Bildtopologie) ein Hausdorff-Raum?


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei die Menge der stetigen geraden Funktionen und die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von nach . Zeige, dass

eine -graduierte -Algebra ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit , auf dem die Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man mit einer -Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter mit gibt, wobei der gemäß Lemma 7.9 zu gehörige Automorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von zur Graduierung, die durch und gegeben ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine kommutative -graduierte -Algebra. Es sei mit der natürlichen Operation auf . Zeige, dass einen Charakter auf derart definiert, dass (unter geeigneten Voraussetzungen an und ) die Menge der Semiinvarianten bezüglich gerade die -te Stufe der Graduierung ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Polynom

irreduzibel ist.



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