Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}R$-Algebra. Zeige ${}1\in A_{0}$ und folgere, dass ${}A_{0}$ eine ${}R$- Unteralgebra von ${}A$ ist.

In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${}M\subseteq D$ der ${}K$- Vektorraum

$\oplus _{d\in M}A_{d}$

ein Unterring von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

$M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}$

ein Untermonoid von ${}D$ ist.

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Ein ${}K$- Automorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element ${}a\in A_{d}$ gilt ${}\varphi (a)\in A_{d}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass der in Lemma 7.9 zu einem Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ eingeführte Automorphismus

$\varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A$

homogen ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein kommutativer ${}D$- graduierter Ring. Es sei

$\pi \colon D\longrightarrow E$

ein Gruppenhomomorphismus mit ${}F=\operatorname {kern} \pi$. Zeige folgende Aussagen.

1. ${}R$ ist in natürlicher Weise ${}E$-graduiert.
2. Die Operation von ${}E^{\vee }$ auf ${}R$ im Sinne von Lemma 7.9 stimmt mit der Operation via

   $\pi ^{\vee }\colon E^{\vee }\longrightarrow D^{\vee }$

   überein.

3. Die neutrale Stufe von ${}R$ bezüglich der ${}E$-Graduierung ist ${}\bigoplus _{d\in F}R_{d}$. Dieser Ring ist ${}F$-graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von ${}R$ in der ${}D$-Graduierung überein.
4. Vergleiche die letzte Aussage mit Proposition 5.1.

Aufgabe

Beschreibe im Sinne von Aufgabe 7.5, wie auf dem Polynomring ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (${}R$ ein kommutativer Ring) die feine Graduierung mit der Standardgraduierung zusammenhängt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es auf dem Polynomring ${}K[V]$ keine kanonische feine Graduierung gibt.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}R$- Algebra. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ ebenfalls ${}D$-graduiert ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Gruppenoperation

${\mathbb {K} }^{\times }\times {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(u,x,y)\longmapsto (ux,u^{-1}y).$

Bestimme die Bahnen der Operation. Ist der Quotient (versehen mit der Bildtopologie) ein Hausdorff-Raum?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}r\in R$ ein Element, das keine Quadratwurzel in ${}R$ besitze. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-r\in R[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und ${}U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass

$\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U$

eine ${}\mathbb {Z} /(2)$- graduierte ${}\mathbb {R}$- Algebra ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}2\in R^{\times }$, auf dem die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man ${}R$ mit einer ${}\mathbb {Z} /(2)$- Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ mit ${}\varphi =\varphi _{\chi }$ gibt, wobei ${}\varphi _{\chi }$ der gemäß Lemma 7.9 zu ${}\chi$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von ${}K[X,Y]$ zur Graduierung, die durch ${}\operatorname {grad} \,(X_{1})=\delta (e_{1})$ und ${}\operatorname {grad} \,(X_{2})=\delta (e_{2})$ gegeben ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ eine kommutative ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Es sei ${}G=D^{\vee }$ mit der natürlichen Operation auf ${}R$. Zeige, dass ${}d\in D$ einen Charakter ${}\lambda$ auf ${}G$ derart definiert, dass (unter geeigneten Voraussetzungen an ${}D$ und ${}K$) die Menge der Semiinvarianten bezüglich ${}\lambda$ gerade die ${}d$-te Stufe der Graduierung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Polynom

$XY-Z^{n}$

irreduzibel ist.