Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 6

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Die alternierende Gruppe

Wir haben gesehen, dass der Invariantenring zur Operation der symmetrischen Gruppe auf dem Polynomring isomorph zum Polynomring in den elementarsymmetrischen Polynomen ist. Eine wichtige Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist die alternierende Gruppe , an deren Definition wir erinnern.


Definition  

Zu heißt die Untergruppe

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Die alternierende Gruppe ist der Kern des Signumshomomorphismus und damit ein Normalteiler. Die operiert wie die auf dem Polynomring . Wir interessieren uns für den Invariantenring . Nach Proposition 5.1  (1) haben wir die Inklusionen

Zur Beschreibung des Invariantenringes unter der alternierenden Gruppe ist der Begriff der relativen Invarianten bezüglich eines Charakters sinnvoll.



Relative Invarianten

Definition  

Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Es sei

ein Charakter auf . Dann nennt man

die -relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich .

Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter. Die -relativen Invarianten sind ein -Untermodul von . Wenn nämlich invariant und -invariant ist, so ist



Der Invariantenring zur alternierenden Gruppe



Lemma  

Es sei ein Körper der Charakteristik .

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe auf dem die Gleichheit

wobei die Vandermondesche Determinante ist.

Beweis  

Das Polynom hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn und miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor der Faktor und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird auf abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ein Vielfaches von ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von zu zeigen, dass ein Teiler von ist . Wir schreiben in den neuen Variablen als

Dann ist einerseits

und anderseits (da signumsinvariant ist)

Daraus folgt wegen , dass für gerade sein muss. Insbesondere ist . Also ist , wie behauptet.


Noch einmal explizit: Es geht um die Polynome, die relativ zur Signumsabbildung invariant sind, für die also

für alle Permutationen gilt. Für eine gerade Permutation muss also

sein, für eine ungerade Permutation dagegen

Insbesondere sind solche Polynome invariant unter der alternierenden Gruppe.



Satz  

Es sei ein Körper der Charakteristik . Die alternierende Gruppe operiere natürlich auf .

Dann ist

Beweis  

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Satz 1.7 und Lemma 6.3. Auf operiert die Restklassengruppe wie in Proposition 5.1 beschrieben. Sei das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Sei ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Proposition 5.1  (3) ist unabhängig von dem gewählten Repräsentanten . Es ist

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss sein.



Beispiel  

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe auf dem wird durch den Zykel

erzeugt.

Besitzt dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren

Wir führen die neuen Variablen

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

Die einzige Relation ist gegeben durch .

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition lässt unverändert und vertauscht und . Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass und vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

Dabei sind

und

Für die Vandermondesche Determinante gilt




Reynolds-Operator

Definition  

Es sei ein Unterring eines kommutativen Ringes . Man sagt, dass ein direkter Summand von ist, wenn es einen -Modul gibt mit (es liegt also ein -Modulisomorphismus vor).

Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen -Modulhomomorphismus

mit gibt. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines Ringhomomorphismus

mit .


Beispiel  

Es sei ein Körper und eine von verschiedene -Algebra. Dann ist ein direkter Summand von . Dies beruht darauf, dass man die zu einer -Basis von ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten -Untervektorraum ist dann . Im Allgemeinen muss es aber keinen -Algebrahomomorphismus geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung gibt es keinen Ringhomomorphismus von nach .


Für einen Invariantenring nennt man einen -Modulhomomorphismus

mit auch einen Reynolds-Operator. Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.



Lemma  

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen -Algebra als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .

Dann ist die Abbildung

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist ein direkter Summand.

Beweis  

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist eine Einheit in und damit in , also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für und ist ferner

daher liegt ein -Modulhomomorphismus vor. Für ist

also ist


Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von modularer Invariantentheorie.


Beispiel  

Es sei ein Körper der Charakteristik und . Auf der -Algebra

operiert die additive Gruppe , indem ein durch

wirkt. Wegen

sind diese zunächst auf definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist , wobei die Inklusion

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahme und . Es ist

wobei beim letzten Isomorphismus auf abgebildet wird. Ebenso ist . Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf ist der Invariantenring. Zu einem , , wird ein Polynom

auf

abgebildet. Bei ist der Koeffizient zu

und dies ist bei nicht gleich . Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für .

Es sei nun invariant. Dann ist auch als Element in bzw. in invariant und daher ist sowohl als auch . Aus

folgt

und aus der Faktorialität von ergibt sich, dass ein Vielfaches von sein muss. Somit gehört zu . Der Invariantenring ist also . Dieser ist aber kein direkter Summand in . Es ist in , aber in , was unmittelbar aus der definierenden Gleichung folgt. Nach Aufgabe 6.10 kann daher kein direkter Summand vorliegen.




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