Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $R$-Algebra. Zeige
\mathl{1 \in A_0}{} und folgere, dass $A_0$ eine $R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$ ist.

}
{} {}

In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
\mathl{M\subseteq D}{} der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $A$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {M= { \left\{ d\in D \mid A_d \neq 0 \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{} von $D$ ist.

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein $K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {A} {A } {} heißt \definitionswort {homogen}{,} wenn für jedes \definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mathl{a \in A_d}{} gilt
\mathl{\varphi(a ) \in A_d}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der in Lemma 7.9 zu einem \definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} eingeführte Automorphismus \maabbdisp {\varphi_\chi} {A} {A } {} \definitionsverweis {homogen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $R$ ein kommutativer $D$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.} Es sei \maabbdisp {\pi} {D} {E } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ \operatorname{kern} \pi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungvier{$R$ ist in natürlicher Weise $E$-graduiert. }{Die Operation von
\mathl{E^{ \vee }}{} auf $R$ im Sinne von Lemma 7.9 stimmt mit der Operation via \maabbdisp {\pi^{ \vee }} { E^{ \vee } } { D^{ \vee } } {} überein. }{Die neutrale Stufe von $R$ bezüglich der $E$-Graduierung ist
\mathl{\bigoplus_{d \in F} R_d}{.} Dieser Ring ist $F$-graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von $R$ in der $D$-Graduierung überein. }{Vergleiche die letzte Aussage mit Proposition 5.1. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe im Sinne von Aufgabe 7.5, wie auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X_1 , \ldots , X_n]}{} \zusatzklammer {$R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}} {} {} die \definitionsverweis {feine Graduierung}{}{} mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{} zusammenhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[V]}{} keine kanonische \definitionsverweis {feine Graduierung}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in $n$ Variablen genau
\mathl{\binom { d+n-1 } { n-1 }}{} \definitionsverweis {Monome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei ${\mathfrak a} \subseteq A$ ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} ebenfalls $D$-graduiert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K} ^{\times} \times {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^2 } {(u,x,y)} { (ux,u^{-1}y) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Bahnen}{}{} der Operation. Ist der \definitionsverweis {Quotient}{}{} \zusatzklammer {versehen mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{}} {} {} ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} in $R$ besitze. Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r }
{ \in }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G}{} die Menge der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} und $U$ die Menge der stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{C}^0 \, (\R, \R) = G \oplus U} { }
eine $\Z/(2)$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit
\mathl{2 \in R^{\times}}{,} auf dem die Gruppe
\mathl{\Z/(2)}{} als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass man $R$ mit einer $\Z/(2)$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{} versehen kann derart, dass die \definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{} der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {A} {A } {} ein \definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} mit
\mathl{\varphi=\varphi_\chi}{} gibt, wobei $\varphi_\chi$ der gemäß Lemma 7.9 zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und \maabbdisp {\delta} {\Z^2} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{} von
\mathl{K[X,Y]}{} zur Graduierung, die durch
\mathl{\operatorname{grad} \, (X_1) = \delta(e_1)}{} und
\mathl{\operatorname{grad} \, (X_2) = \delta(e_2)}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $R$ eine kommutative $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{ D^{ \vee } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der natürlichen Operation auf $R$. Zeige, dass
\mathl{d \in D}{} einen \definitionsverweis {Charakter}{}{} $\lambda$ auf $G$ derart definiert, dass \zusatzklammer {unter geeigneten Voraussetzungen an $D$ und $K$} {} {} die Menge der \definitionsverweis {Semiinvarianten}{}{} bezüglich $\lambda$ gerade die $d$-te \definitionsverweis {Stufe}{}{} der Graduierung ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {XY-Z^n} { }
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}