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Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 16/latex

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\setcounter{section}{16}

In dieser Vorlesung führen wir eine wichtige Konstruktion für Moduln ein, das sogenannte \stichwort {Tensorprodukt} {.} Die Eigenschaften des konstruierten Objektes sind dabei wichtiger als die Konstruktion selbst.






\zwischenueberschrift{Das Tensorprodukt von Moduln}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{} $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} heißt \definitionswortpraemath {R}{ multilinear }{,} wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes $(n-1)$-Tupel
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{v_j \in V_j}{}} {} {} die induzierte Abbildung \maabbeledisp {} { V_i} {W } {u} { \psi { \left( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u, v_{i+1} , \ldots , v_n \right) } } {,} $R$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}

Bei
\mathl{n=2}{} spricht man von \stichwort {bilinear} {.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{} seien $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen
\mathl{v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_n}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{v_i \in V_i}{}} {} {} erzeugte \definitionsverweis {freie}{}{} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Es sei
\mathl{U \subseteq F}{} der von allen Elementen der Form \aufzaehlungzwei {
\mathl{r { \left( v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes v_i \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n \right) } - v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes rv_i \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n}{,} } {
\mathl{v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes (u+w) \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n - v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes u \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n - v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes w \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n}{,} } erzeugte $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{.} Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{F/U}{} das \stichwort {Tensorprodukt} {} der
\mathbed {V_i} {}
{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }} {}
{} {} {} {.} Es wird mit
\mathdisp {V_1 \otimes_{ R } V_2 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n} { }
bezeichnet.

}

Die Bilder von
\mathl{(v_1 , \ldots , v_n)}{} in
\mathl{V_1 \otimes_R V_2 \otimes_R \cdots \otimes_R V_n}{} bezeichnet man wieder mit
\mathl{v_1 \otimes \cdots \otimes v_n}{.} Jedes Element aus
\mathl{V_1 \otimes_R \cdots \otimes_R V_n}{} besitzt eine \zusatzklammer {nicht eindeutige} {} {} Darstellung als
\mathdisp {a_1 v_{1,1} \otimes \cdots \otimes v_{1,n} + \cdots + a_m v_{m,1} \otimes \cdots \otimes v_{m,n}} { }
\zusatzklammer {mit \mathlk{a_i \in R}{} und \mathlk{v_{i,j} \in V_j}{}} {} {.} Insbesondere bilden die \zusatzklammer {\stichwort {zerlegbaren Tensoren} {}} {} {}
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein $R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{} des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes rv_i \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ =} {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{j-1} \otimes rv_j \otimes v_{j+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für beliebige
\mathl{i,j}{.}

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende \stichwort {universelle Eigenschaft} {.}




\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} seien $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\pi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n } { { \left( v_1 , \ldots , v_n \right) } } {v_1 \otimes \cdots \otimes v_n } {,} ist $R$-\definitionsverweis {multilinear}{}{.} } {Es sei $W$ ein weiterer $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und \maabbdisp {\psi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\bar{\psi}} {V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n } {W } {} mit
\mathl{\psi = \bar{\psi} \circ \pi}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des \definitionsverweis {Tensorprodukts}{}{.} (2). Da die
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein $R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{} von
\mathl{V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n}{} sind und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bar{\psi}(v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n) }
{ =} { \psi (v_1 , \ldots , v_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den \definitionsverweis {freien Modul}{}{} $F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $F$, daher legt die Vorschrift
\mathl{\varphi { \left( v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n \right) } \defeq \psi( v_1 , \ldots , v_n)}{} eine lineare Abbildung \maabbdisp {} {F} {W } {} fest. Wegen der \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} von $\psi$ wird der Untermodul $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {F/U \cong V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n} {W } {.}

}


Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf \zusatzklammer {eindeutige} {} {} Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen $R$-Modul $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung \maabb {} {V_1 \times \cdots \times V_n} {T } {} derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $W$ eindeutig über $T$ mit einer linearer Abbildung von $T$ nach $W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen $T$ und dem Tensorprodukt
\mathl{V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n}{.} Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.


\inputfaktbeweis
{Moduln/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } V }
{ \cong} {V \otimes_{ R } U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \otimes_{ R } W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \otimes_{ R } W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \oplus W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ R } W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 16.2. }





\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{U,V,W,M}{} $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {U} {V } {} gibt es einen natürlichen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi \otimes_{ R } \operatorname{Id}_{ M }} {U \otimes_{ R } M} {V \otimes_{ R } M } {.} } {Zu einer \definitionsverweis {exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {U \longrightarrow V \longrightarrow W \longrightarrow 0} { }
von $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} ist auch
\mathdisp {U\otimes_{ R } M \longrightarrow V \otimes_{ R } M \longrightarrow W \otimes_{ R } M \longrightarrow 0} { }
exakt. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1). Die Abbildung \maabbeledisp {} {U \times M} { V \otimes_{ R } M } {(u,m)} { \varphi(u) \otimes m } {,} ist $R$-\definitionsverweis {bilinear}{}{} und induziert daher einen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {U \otimes_{ R } M } {V \otimes_{ R } M } {.} (2). Die Surjektivität der Abbildung \maabbdisp {} {V \otimes_{ R } M } {W \otimes_{ R } M } {} ist klar, da die
\mathl{w \otimes m}{} ein $R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{} von
\mathl{W \otimes_{ R } N}{} bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V \otimes_{ R } M / \operatorname{bild} { \left( U \otimes_{ R } M \right) } }
{ \cong} { W \otimes_{ R } M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also \maabbdisp {} {W \times M} {N } {} eine $R$-\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{} in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung \maabbdisp {\psi} {V \times M} {N } {} und damit eine $R$-lineare Abbildung \maabbdisp {\tilde{\psi}} { V \otimes_{ R } M} { N } {} vor. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi ( \operatorname{bild} U \times M) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\psi} { \left( \operatorname{bild} U \otimes_{ R } M \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung \maabbdisp {} { V \otimes_{ R } M / \operatorname{bild} { \left( U \otimes_{ R } M \right) } } {N } {.}

}






\zwischenueberschrift{Ringwechsel}

Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über $R$ ein $R$-Modul $M$ und eine kommutative $R$-Algebra $R'$ vorliegt.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ und einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R} {R' } {} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} nennt man
\mathl{R' \otimes_{ R } M}{} den \definitionswort {durch Ringwechsel gewonnenen}{} \definitionswortpraemath {R'}{ Modul }{.}

}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Die \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} mit der $\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ${\mathbb C}$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_{\mathbb C} }
{ \defeq} { {\mathbb C} \otimes_{ \R } V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} nennt man die \stichwort {Komplexifizierung} {} von $V$. Wenn $V$ die \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ besitzt, so besitzt $V_{\mathbb C}$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension $n$. Wenn man $V_{\mathbb C}$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die \definitionsverweis {reelle}{}{} Dimension $2n$.


}





\inputfaktbeweis
{Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und \maabb {} {R} {R' } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R' \otimes_{ R } M}{} ist ein $R'$-Modul. }{Es gibt einen kanonischen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {M} { R' \otimes_{ R } M } {v} { 1 \otimes v } {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{R' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dies ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.} }{Zu einem $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {M} {N } {} ist die induzierte Abbildung \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ R' } \otimes \varphi} {R' \otimes_{ R } M } {R' \otimes_{ R } N } {} ein $R'$-Modulhomomorphismus. }{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R' \otimes_{ R } R^n }
{ \cong} { { \left( R' \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem weiteren Ringhomomorphismus \maabb {} {R'} {R^{\prime \prime} } {} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M }
{ \cong} { R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R^{\prime } \otimes_{ R } M \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {eine Isomorphie von \mathlk{R^{\prime \prime}}{-}Moduln} {} {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1). Die Multiplikation \maabbeledisp {} {R' \times R'} {R' } {(r,s)} {rs } {,} ist $R'$-\definitionsverweis {bilinear}{}{} und führt nach Lemma 16.3 zu einer $R'$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {R' \otimes_{ R } R'} {R' } {.} Dies induziert nach Proposition 16.4  (2) und nach Proposition 16.5 einen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { R' \otimes_{ R } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } \cong { \left( R' \otimes_{ R } R' \right) } \otimes_{ R } M } { R' \otimes_{ R } M } {.} Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation \maabbdisp {} {R' \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } {,} die explizit durch\zusatzfussnote {Wenn man die Skalarmultiplikation direkt über diese Formel definieren möchte hat man das Problem der Wohldefiniertheit} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n r_j \otimes m_j \right) } }
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( sr_j \right) } \otimes m_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Ska\-larmultiplikation.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R' }
{ = }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation \maabb {} {R \times M} {M } {} induziert eine $R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { R \otimes_{ R } M } { M } {.} Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung \maabb {} { M } { R \otimes_{ R } M } {} mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus Proposition 16.4  (3).}
{}\teilbeweis {}{}{}
{(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung \maabb {} { M} { R' \otimes_{ R } M } {.} Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung
\mathdisp {R^{\prime \prime} \times M \longrightarrow R^{\prime \prime} \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } \longrightarrow R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) }} { , }
die eine $R$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } {} induziert. Andererseits haben wir eine $R'$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {R' \otimes_{ R } M } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M } {.} Rechts steht ein
\mathl{R^{\prime \prime}}{-}Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R'$-multilineare Abbildung \maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M } {} auffassen, die ihrerseits zu einer $R'$-linearen Abbildung \maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M } {} führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die
\mathl{R^{\prime \prime}}{-}Multiplikationen entsprechen.}
{}

}


\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem \definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_S }
{ \cong }{R_S \otimes_{ R } M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{} $I \subseteq R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M/IM }
{ \cong }{ R/I \otimes_{ R } M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 16.4. }




\inputbeispiel{}
{

Zu einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} und einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ erhält man im \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{Q(R) \otimes_{ R } M}{} einen Modul über dem Quotientenkörper $Q(R)$, also einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine \definitionsverweis {Dimension}{}{} nennt man auch den \stichwort {Rang} {} des Moduls.


}




\inputbeispiel{}
{

Zu jeder \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $H$ und jedem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ enthält man im \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R \otimes_{ \Z } H}{} einen $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Wenn $H$ \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} und die Zerlegung \zusatzklammer {vergleiche den Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H }
{ \cong} {\Z^r \times \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus
\mathl{R^r}{} und den
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \otimes_{ \Z } \Z/(n_j) }
{ \cong} { R/(n_jR) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei deren Gestalt von der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} des Ringes abhängt.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{,} und es sei $R^G$ der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{.} Dann gehört zu jedem $R^G$-Modul $M$ das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R \otimes_{ R^G } M}{.} Auf diesem $R$-Modul operiert die Gruppe $G$ in natürlicher und mit der Operation auf $R$ \definitionsverweis {verträglichen}{}{} Weise, siehe Aufgabe 16.10.


}



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