Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Lineare Operationen}
Eine Operation einer Gruppe $G$ auf einer \zusatzklammer {geometrischen} {} {} Menge $M$ ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus der Gruppe in die Permutationsgruppe des geometrischen Objektes. Häufig betrachtet man nur solche Operationen, deren zugehörige Permutationen \stichwort {Automorphismen} {} sind, also die relevanten geometrischen Eigenschaften des Objektes respektieren. Bei einer Operation auf einer \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} wird man beispielsweise fordern, dass die Automorphismen \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} sind. Wenn das geometrische Objekt ein Vektorraum ist, so interessiert man sich insbesondere für die linearen Automorphismen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Operation}{}{}
\maabbdisp {\mu} {G\times V} {V
} {}
heißt
\definitionswort {linear}{,}
wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {} {V} {V
} {v} { \mu(\sigma,v)
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
Bei einer linearen Operation sind die Abbildungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_\sigma
}
{ = }{ \mu(\sigma,-)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sogar
$K$-\definitionsverweis {Automorphismen}{}{.}
Eine lineare Operation ist das gleiche wie ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
} {.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} operiert in natürlicher Weise
\definitionsverweis {linear}{}{}
auf $V$. Die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind ja definiert als
$K$-\definitionsverweis {Automorphismen}{}{}
von $V$ in sich und somit ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } \times V} {V
} {(\varphi,v)} { \varphi(v)
} {,}
wohldefiniert. Da die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} einfach die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung von Abbildungen}{}{}
ist, ergibt sich sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (\psi(v))
}
{ =} { ( \varphi \circ \psi) (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei
\definitionsverweis {Bahnen}{}{,}
nämlich den Nullpunkt
\mathkor {} {0} {und} {V \setminus \{0\}} {,}
da es zu zwei von $0$ verschiedenen Vektoren
\mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {}
stets einen Automorphismus gibt, der $v_1$ in $v_2$ überführt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Die
\definitionsverweis {natürliche}{}{}
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} auf $V$, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } \times V} {V
} {(\varphi,v)} { \varphi(v)
} {,}
induziert für jede Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine lineare Operation
\maabbeledisp {} { G \times V} {V
} {(\varphi,v)} { \varphi(v)
} {.}
Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} sind die
\definitionsverweis {spezielle lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ } { \left( V \right) }}{}
\zusatzklammer {dazu muss $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sein} {} {}
und alle endlichen Gruppen
\zusatzklammer {wenn die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $V$ hinreichend groß ist} {} {.}
Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\zusatzklammer {beispielsweise ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die
\definitionsverweis {orthogonale Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{O}_{ } { \left( V \right) }}{} und die eigentliche
\definitionsverweis {Isometriegruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SO}_{}\,(V)}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die symmetrische Gruppe $S_n$ ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S_n
}
{ =} { { \left\{ \sigma:I\rightarrow I \mid \sigma \text{ Bijektion} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \ldots &\sigma(n)
\end{pmatrix}} { . }
$S_n$ ist eine Gruppe mit $n!$ Elementen.
Die Permutationsgruppe $S_n$ operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf $K^n$ wie folgt: Der $i$-te Basisvektor $e_i$ wird auf
\mathl{e_{\sigma(i)}}{} geschickt, also
\mathl{e_i \mapsto e_{\sigma(i)}}{.} Dies definiert
nach Satz 12.3 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011))
einen
\definitionsverweis {linearen Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\sigma} {K^n} {K^n
} {,}
den wir ebenfalls mit $\sigma$ bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der $i$-ten Spalte in der
\mathl{\sigma(i)}{-}ten Zeile eine $1$ steht, und sonst überall $0$. Eine solche Matrix nennt man eine
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{.}
Wenn
\mathl{E_{ij}}{} diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle $ij$
\zusatzklammer {$i$-te Zeile, $j$-te Spalte} {} {}
eine $1$ und sonst überall eine $0$ als Eintrag besitzt, so ist die zu $\sigma$ gehörende Permutationsmatrix gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_\sigma
}
{ =} {\sum^n_{j = 1}E_{\sigma(j) j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.
Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{,} und die Zuordnung
\mathl{\sigma \mapsto E_\sigma}{} ist ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
zwischen der Permutationsgruppe $S_n$ und dieser endlichen Untergruppe.
Nach Beispiel 3.3
operiert die Permutationsgruppe $S_n$
\definitionsverweis {linear}{}{}
auf dem $K^n$.
}
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\definitionsverweis {linear operiere}{}{.}
Ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {G}{ invariant }{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Dies kann man auch so ausdrücken, dass jede zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehörende Abbildung
\mathl{\varphi_\sigma}{} den Unterraum $U$ in sich selbst abbildet. D.h. $U$ ist
$\varphi_\sigma$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei endlichdimensionalem $V$ ist dann sogar stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_\sigma(U)
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Operation lässt sich in natürlicher Weise auf einen jeden invarianten Unterraum einschränken. Man nennt diese Räume daher auch einfach $G$-\stichwort {Räume} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\definitionsverweis {linear operiere}{}{.}
Der Untervektorraum
\mathdisp {{ \left\{ v\in V \mid \sigma v = v \text{ für alle } \sigma \in G \right\} }} { }
heißt der
\definitionswort {Fixraum}{}
der Gruppenoperation.
}
Der Fixraum ist einfach die Menge aller \definitionsverweis {Fixpunkte der Operation}{}{.} Er ist ein $G$-invarianter Untervektorraum.
\zwischenueberschrift{Darstellungstheorie}
Eine lineare Operation einer Gruppe auf einem Vektorraum nennt man auch eine Darstellung der Gruppe. In der Darstellungstheorie steht die Frage im Mittelpunkt, auf wie viele \zusatzklammer {wesentlich verschiedene} {} {} Arten eine bestimmte Gruppe auf einem Vektorraum operieren kann. Mit dieser Kenntnis kann man sowohl die Gruppe selbst als auch ihre Operationen besser verstehen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \zusatzklammer {\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}} {} {} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} nennt man eine \zusatzklammer {endlichdimensionale} {} {} \definitionswort {Darstellung}{} \zusatzklammer {über $K$} {} {.}
}
Man spricht auch von einer \stichwort {linearen Darstellung} {.} Bei
\mathl{V=K^r}{} spricht man auch von einer \stichwort {Matrix-Darstellung} {.} Das Bild der Darstellung ist eine Untergruppe der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} des Vektorraumes $V$ nennt man auch die \stichwort {Dimension der Darstellung} {.}
Eine Darstellung von $G$ in
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} ist das gleiche wie eine Operation von $G$ auf $V$. Die \stichwort {Darstellungstheorie} {} einer gegebenen Gruppe beschäftigt sich mit der Menge aller möglichen Darstellungen zu dieser Gruppe.
Eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} in einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ heißt \definitionswort {treu}{,} wenn $\rho$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
Man interessiert sich hauptsächlich für die treuen Darstellungen. Wenn eine Darstellung der Gruppe $G$ nicht treu ist, so besitzt sie einen nichttrivialen
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und es ergibt sich
nach Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
eine treue Darstellung der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/H}{.}
Man unterscheide sorgfältig zwischen abstrakten intrinsischen Eigenschaften einer Gruppe und Eigenschaften, die mit ihrer Einbettung in die allgemeine lineare Gruppe zusammenhängen. Die Eigenschaften einer linearen Operation hängen von beiden ab.
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Unter der
\definitionswort {regulären Darstellung}{} von $G$ versteht man den
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{\zusatzfussnote {Hierbei wird durch die Zuordnung $\tau \mapsto \sigma \tau$ eine Permutation auf $G$ definiert; diese gibt die zugehörige lineare Abbildung auf der Standardbasis des $K^G$ vor. Unter
\mathl{K^G}{} verstehen wir die Menge der Abbildungen von $G$ nach $K$, der isomorph zu $K^{ { \# \left( G \right) } }$ ist} {.} {}}
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( K^G \right) }
} {\sigma} { { \left( e_\tau \mapsto e_{ \sigma \tau } \right) }
} {.}
}
Diese Darstellung ist die Verknüpfung des injektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( G)
} {\sigma} { { \left( \tau \mapsto \sigma \tau \right) }
} {,}
der auch im
Satz von Cayley
auftaucht, mit dem ebenfalls injektiven Gruppenhomomorphismus, der einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{} $\pi$ auf einer Menge $I$
\zusatzklammer {die im vorliegenden Fall $G$ ist} {} {}
ihre lineare, durch
\mathl{e_i \mapsto e_{\pi(i)}}{} festgelegte Realisierung zuordnet. Insbesondere ist die reguläre Darstellung treu, und somit gibt es für jede endliche Gruppe überhaupt eine treue Darstellung. Es lässt sich also jede endliche Gruppe als Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen realisieren, und zwar über jedem Körper.
\zwischenueberschrift{Charaktere}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Dann heißt ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\chi} {G} {(K^\times, 1, \cdot) } {} ein \definitionswort {Charakter}{} von $G$ in $K$.
}
Die Menge der Charaktere von $G$ nach $K$ bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{Char} \, (G, K )}{.} Mit dem \stichwort {trivialen Charakter} {}
\zusatzklammer {also der konstanten Abbildung nach $1$} {} {}
und der Verknüpfung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \chi_1 \cdot \chi_2 \right) } (g)
}
{ \defeq} {\chi_1(g) \cdot \chi_2(g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\operatorname{Char} \, (G, K )}{} selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von $G$ nach $K^\times$. Da es zu jedem Charakter den
\definitionsverweis {inversen Charakter}{}{}
$\chi^{-1}$ gibt, der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi^{-1}(g)
}
{ =} {(\chi(g))^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist, bildet
\mathl{\operatorname{Char} \, (G, K )}{} sogar eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}\zusatzklammer {siehe unten} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ ein
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Dann nennt man die Menge der
\definitionsverweis {Charaktere}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G^{ \vee }
}
{ \defeq} { \operatorname{Char} \, (G, K )
}
{ =} { { \left\{ \chi: G \rightarrow K^\times \mid \chi \text{ Charakter} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Charaktergruppe}{} von $G$
\zusatzklammer {in $K$} {} {.}
}
Ein Charakter einer Gruppe ist nichts anderes als eine eindimensionale Darstellung.
{Gruppe/Charaktergruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G^{ \vee }
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (G, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
zu $G$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$G ^{ \vee }$ ist eine kommutative Gruppe.
} {Bei einer
\definitionsverweis {direkten Gruppenzerlegung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{G_1 \times G_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (G_1 \times G_2)^{ \vee }
}
{ = }{ G_1 ^{ \vee } \times G_2^{ \vee }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 3.9. }
\inputfaktbeweis
{Kommutative endliche Gruppe/Körper mit Einheitswurzeln/Charaktergruppe/Isomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{} $m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{} $m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} besitzt.}
\faktfolgerung {Dann sind $G$ und $G^{ \vee }$
\definitionsverweis {isomorphe}{}{} Gruppen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 3.11 (2)
und
Korollar Anhang 4.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
kann man annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
ist, und dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {G} {K^\times
} {}
ist durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{\varphi(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig festgelegt, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\zeta^n
}
{ =} { (\varphi(1))^n
}
{ =} { \varphi (n)
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} {1
}
}
{}{}{}
ist $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ durch die Zuordnung
\mathl{1 \mapsto \zeta}{} nach
Lemma 4.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
und
Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
einen Gruppenhomomorphismus von
\mathl{\Z/(n)}{} nach $K^\times$ definieren. Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Also gibt es $n$ solche Homomorphismen. Wenn $\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch
\mathl{1 \mapsto \zeta}{} festgelegte Homomorphismus die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ( \Z/(n) )^{ \vee }
}
{ \cong }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Darstellungen der zyklischen Gruppe}
Eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/( r)}{} lässt sich auf unterschiedliche Weise als Untergruppe der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }} {bzw.} {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }} {} auffassen, wie die folgenden Beispiele zeigen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine $r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ r } { \left( K \right) }
}
{ \defeq} { { \left\{ \zeta^{ i } \mid i = 0,1 , \ldots , r -1 \right\} }
}
{ \subseteq} { K^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zyklische Gruppe der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} $r$. Somit ist die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \Z/(r) } { K^{\times}
} {i} { \zeta^{ i }
} {,}
eine
\zusatzklammer {\definitionsverweis {treue}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {eindimensionale Darstellung}{}{} \zusatzklammer {also ein Charakter} {} {} einer zyklischen Gruppe.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \Z/(r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Erzeuger $1$ operiert auf
\mathl{\Z/(r)}{} durch Addition mit $1$, die zugehörige
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
ist also durch
\mathl{k \mapsto k+1}{}
\zusatzklammer {und
\mathl{r \mapsto 1}{}} {} {}
gegeben. Die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Somit ist die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \Z/(r) } { \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
} {i} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{ i }
} {,}
die
\definitionsverweis {reguläre Darstellung}{}{}
der zyklischen Gruppe.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta_1 , \ldots , \zeta_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{.}
Dann ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} \zeta_1^{ i } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \zeta_2^{ i } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \zeta_{n-1}^{ i } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \zeta_n^{ i } \end{pmatrix} \mid i =0,1, \ldots \right\} }} { , }
eine zyklische Untergruppe der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{.} Ihre Ordnung ist das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
\zusatzklammer {nennen wir es $r$} {} {}
der Ordnungen der $\zeta_j$. Die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \Z/(r) } { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
} {i} { \begin{pmatrix} \zeta_1^{ i } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \zeta_2^{ i } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \zeta_{n-1}^{ i } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \zeta_n^{ i } \end{pmatrix}
} {,}
ist eine $n$-dimensionale
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
einer zyklischen Gruppe.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine $r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{ i } & 0 \\ 0 & \zeta^{-i } \end{pmatrix} \mid i =0,1 , \ldots , r -1 \right\} }} { , }
der
\definitionsverweis {speziellen linearen Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( K \right) }}{} eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} $r$ ist. Die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \Z/(r) } { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( K \right) }
} {i} { \begin{pmatrix} \zeta^{ i } & 0 \\ 0 & \zeta^{- i } \end{pmatrix}
} {,}
ist eine zweidimensionale
\definitionsverweis {Darstellung}{}{} einer zyklischen Gruppe.
}
\inputbeispiel{}
{
Eine jede
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlicher Ordnung über einem Körper $K$ erzeugt eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{.}
Ihre
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
muss eine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein. Wie das reelle Beispiel
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}{} zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
noch
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
sein. Über einem
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann bilden die Matrizen
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a \in \Z/(p) \right\} }} { }
eine
\definitionsverweis {zyklische}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( K \right) }}{} mit $p$ Elementen.
}
\inputfaktbeweis
{Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$.}
\faktfolgerung {Dann ist jede
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die endliche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzt,
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Matrix ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und besitzt eine
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.}
Wir zeigen, dass die einzelnen
\definitionsverweis {Jordanblöcke}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { }
trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss $\lambda$ eine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
sein. Durch Multiplikation mit
\mathl{\lambda^{-1} E_n}{} können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & a & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & a & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 1 & a & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & a\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}} { }
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
vorliegt. Wenn dies keine
\mathl{1\times 1}{-}Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren
\mathl{u,v}{,} wobei $u$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
ist und $v$ auf
\mathl{v+au}{} abgebildet wird. Die $k$-te Iteration der Matrix schickt dann $v$ auf
\mathl{v+kau}{} und wegen Charakteristik $0$ ist dies nicht $v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.
\inputfaktbeweis
{Endliche zyklische Gruppe/Darstellung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$.}
\faktfolgerung {Dann ist jede
\definitionsverweis {Darstellung}{}{}
einer
\definitionsverweis {endlichen zyklischen Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(r)}{} in
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} in einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von der Form
\maabbeledisp {} { \Z/(r) } { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
} {i} { \begin{pmatrix} \zeta_1^{ i } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \zeta_2^{ i } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \zeta_{n-1}^{ i } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \zeta_n^{ i } \end{pmatrix}
} {,}
mit gewissen
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
$\zeta_j$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 3.19.
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