Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 8 3 4 2 10 3 3 4 4 2 6 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen -Vektorräumen und .
  3. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
  2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe * (10 (1+2+6+1) Punkte)

Für eine -Matrix sei

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist .

b) ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung