Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{Ein \stichwort {kommutativer} {} \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$.
}{Die \stichwort {transponierte Matrix} {} zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M=(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$.
}{Der $i$-te \stichwort {Standardvektor} {} im $K^n$.
}{Eine
\stichwort {multilineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V_1 \times \cdots \times V_n} {W
} {,}
wobei
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sind.
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{x \in M}{} heißt
\mathl{y \in M}{} inverses Element, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y
}
{ =} { e
}
{ =} {y \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
}{Man nennt die Matrix
\mathdisp {{ M^{ \text{tr} } } =(b_{ij})_{ij} \text{ mit } b_{ij} := a_{ji}} { }
die transponierte Matrix zu $M$.
}{Der Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots\\ 0\\1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
heißt multilinear, wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes
\mathl{(n-1)}{-}Tupel
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)}{} mit
\mathl{v_j \in V_j}{} die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} {V_i} {W
} {v_i} { \Phi ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n )
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}{Das eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {normierte}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{\mu_f\in K[X]}{} minimalen
\definitionsverweis {Grades}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_f(f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt das
\stichwort {Minimalpolynom} {}
von $f$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.}{Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension
\mathl{n= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{.} Für $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine Basis von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind linear unabhängig.
}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.}
Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {Determinantenfunktion}{}{}
\maabbdisp {\triangle} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle (e_1 ,\, e_2 , \ldots , e_{ n })
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $e_i$ die
\definitionsverweis {Standardvektoren}{}{}
sind, nämlich die
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ und
\mathbed {Q_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in $F$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(P_i)
}
{ =} {Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i \in I}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei $M$ eine Menge. Wir betrachten die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) \times \mathfrak {P} \, (M )} { \mathfrak {P} \, (M ) } {(A,B)} { A \setminus B } {.} Ist diese Verknüpfung \definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}
{
Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {B
}
{ =} {C
}
{ =} {M
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nehmen, wobei $M$ eine nichtleere Menge sei. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \setminus M
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(M \setminus M) \setminus M
}
{ =} { \emptyset \setminus M
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \setminus ( M \setminus M )
}
{ =} { M \setminus \emptyset
}
{ =} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i
}
{ =} { (-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Der Induktionsanfang bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{ i = 0}^ {n+1} (-1)^{i} \binom { n+1 } { i } 2^i
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^ {n+1} (-1)^{i} { \left( \binom { n } { i } + \binom { n } { i-1 } \right) } 2^i
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i + \sum_{ i = 1}^{n+1} (-1)^{i} \binom { n } { i-1 } 2^i
}
{ =} {(-1)^{n} -2 \cdot \sum_{ i = 1}^{n+1} (-1)^{i-1} \binom { n } { i-1 } 2^{i-1}
}
{ =} {(-1)^{n} -2 \cdot \sum_{ j = 0}^{n} (-1)^{j} \binom { n } { j } 2^j
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n} -2 (-1)^n
}
{ =} { (-1)^ {n+1}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x &
+5 y &
-3 z &
+ w & = & 0 \\ x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
- x &
+6 y &
-2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\
x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, .
\end{matrix}} { }
Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 y
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { { \frac{ 18 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Jede linear unabhängige Familie in $U$ ist auch linear unabhängig in $V$. Daher kann es
aufgrund des Basisaustauschsatzes
in $U$ nur linear unabhängige Familien der Länge $\leq n$ geben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es in $U$
eine linear unabhängige Familie mit $k$ Vektoren gibt, aber nicht mit
\mathl{k+1}{} Vektoren. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in $U$ und daher wegen
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
eine Basis von $U$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ x & x^2 & x^3 \\x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{x \in K}{.}
}
{
Die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit $x$, die dritte Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit $x^2$. Somit ist der Rang maximal $1$. Wegen der $1$ links oben ist der Rang genau $1$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
}
{
Es sei
\mathl{v \in V}{} fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass
\mathl{\Psi(v)}{} eine Linearform auf dem Dualraum ${ V }^{ * }$ ist. Offenbar ist
\mathl{\Psi(v)}{} eine Abbildung von ${ V }^{ * }$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(f_1+f_2)
}
{ =} { (f_1+f_2) (v)
}
{ =} { f_1(v) +f_2(v)
}
{ =} {( \Psi(v))(f_1) + ( \Psi(v))(f_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \Psi(v))(s f )
}
{ =} { (s f ) (v)
}
{ =} { s ( f(v))
}
{ =} {s ( ( \Psi(v))(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien
\mathl{v,w \in V}{.} Es ist die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi (v+w)
}
{ =} { \Psi(v) + \Psi(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in
\mathl{{ { \left( { V }^{ * } \right) } }^{ * }}{} ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei
\mathl{f \in { V }^{ * }}{} beliebig. Dann folgt die Additivität aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (v+w) )(f)
}
{ =} { f(v+w)
}
{ =} { f(v) +f(w)
}
{ =} { ( \Psi (v) )(f) + ( \Psi (w) )(f)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \Psi (s v) )(f)
}
{ =} { f(s v)
}
{ =} { s (f(v))
}
{ =} {s ( ( \Psi (v) )(f) )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Injektivität sei
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. D.h. für alle Linearformen
\mathl{f \in { V }^{ * }}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber nach
Lemma 14.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
schon
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
dem Injektivitätskriterium
ist $\Psi$ injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+6 { \mathrm i} & 8-3 { \mathrm i} \\ 5 - { \mathrm i} & 3+ 7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+6 { \mathrm i} & 8-3 { \mathrm i} \\ 5 - { \mathrm i} & 3+ 7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( 2+6 { \mathrm i} \right) } { \left( 3+7 { \mathrm i} \right) } - { \left( 5- { \mathrm i} \right) } { \left( 8-3 { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { -36 + 32 { \mathrm i} - 37 + 23 { \mathrm i}
}
{ =} { -73 + 55 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} { 3} {\ldots } {n-2} }
{\mazeileundzwei {n-1 } {n} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {3} {4} {\ldots} {n-1} }
{\mazeileundzwei {n} {1} }
gegebene Permutation $\pi$ zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
von $\pi$ auf möglichst viele unterschiedliche Arten.
}
{
\aufzaehlungdrei{Gemäß der Definition des Signums ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{1 \leq i < j \leq n} { \frac{ \pi(j) - \pi(i) }{ j-i } }
}
{ =} { \prod_{1 \leq i < j \leq n-1} { \frac{ \pi(j) - \pi(i) }{ j-i } } \cdot \prod_{1 \leq i < j = n} { \frac{ \pi(n) - \pi(i) }{ n-i } }
}
{ =} {\prod_{1 \leq i < j \leq n-1} { \frac{ j +1 - (i+1) }{ j-i } } \cdot \prod_{1 \leq i < n} { \frac{ 1 - (i+1) }{ n-i } }
}
{ =} {\prod_{1 \leq i < j \leq n-1} { \frac{ j - i }{ j-i } } \cdot \prod_{1 \leq i < n} { \frac{ - i }{ n-i } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1 \cdot \prod_{1 \leq i < j = n} (-1)^{n-1} { \frac{ i }{ n-i } }
}
{ =} { \prod_{1 \leq i < j = n} (-1)^{n-1} { \frac{ 1 \cdot 2 \cdots (n-2) (n-1) }{ (n-1) (n-2) \cdots 2\cdot 1 } }
}
{ =} { (-1)^{n-1}
}
{ } {}
}
{}{.}
}{Wir bestimmen die Fehlstände der Permutation. Zu
\mathl{i<j < n}{} liegt kein Fehlstand vor. Dagegen liegt zu
\mathl{i<n}{} stets ein Fehlstand vor. Es gibt also insgesamt
\mathl{n-1}{} Fehlstände, und das Signum ist
\mathl{(-1)^{n-1}}{.}
}{Die Permutation $\pi$ kann man als Produkt der Transpositionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ =} { \langle 1,2 \rangle \circ \langle 2,3 \rangle \circ \cdots \circ \langle n-1,n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
darstellen, da ja $n$ mit jeder Transposition um $1$ nach unten transportiert wird und jede Zahl $i<n$ durch die Transposition
\mathl{\langle i,i+1 \rangle}{} auf $i+1$ abgebildet wird, was von den Transpositionen weiter links nicht mehr verändert wird. Es liegt also eine Zerlegung in $n-1$ Transpositionen vor und das Signum ist
\mathl{(-1)^{n-1}}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
}
{
Zwei Seiten haben die Länge $a$, zwei andere Seiten die Länge $b$; gegebenenfalls ist $a = b$. Es gilt $U = 2a+2b$ und $A=ab$.
Auflösen der ersten Gleichung nach $b$ ergibt $b = \frac{U}{2}-a$. Einsetzen in die zweite Gleichung: $A = a\left(\frac{U}{2}-a\right) = a\frac{U}{2}-a^2$. Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: $a^2-\frac{U}{2} a + A = 0$.
Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.
Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für $a$, nämlich $\frac{U}{4}\pm \sqrt{\frac{U^2}{16} - A}$. Eine der beiden Lösungen ist dann $a$, die andere ist $b$. Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung $a=b=U/4$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{.}
\aufzaehlungzwei {Führe in $\Q[X]$ die
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
\anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mathkor {} {P=X^{n-1} + X^ {n-2} + \cdots + X^2+X+1} {und} {T=X-1} {} durch.
} {Finde eine Darstellung der $1$ mit diesen beiden Polynomen. }
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{n-1} + X^ {n-2} + \cdots + X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X^{n-2} +2 X^ {n-3} + \cdots + (n-3) X^2+(n-2)X+n-1 \right) } { \left( X-1 \right) } + n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } { \left( X^{n-1} + X^ {n-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) } - { \frac{ 1 }{ n } } { \left( X^{n-2} +2 X^ {n-3} + \cdots + (n-3) X^2+(n-2)X+n-1 \right) } { \left( X-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und sei $Q$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $\varphi$. Zeige, dass $0$ genau dann eine Nullstelle von $Q$ ist, wenn $\varphi$ nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{
Da das Minimalpolynom und das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
nach
Lemma 24.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die gleichen Nullstellen haben, und dies die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
von $\varphi$ sind, bedeutet die eine Eigenschaft, dass $0$ ein Eigenwert ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Eigenraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 0 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht der Nullraum ist, was wiederum nach dem Injektivitätskriterium bedeutet, dass $\varphi$ nicht injektiv ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
die beschreibenden Matrizen von $\varphi$ bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {BNB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der invertierbaren Basiswechselmatrix $B$. Es besteht die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ B (xE_n - N) B^{-1}
}
{ =} { B { \left( xE_n \right) } B^{-1} - B N B^{-1}
}
{ =} { xE_n - B N B^{-1}
}
{ =} { xE_n- M
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da die Streckungsmatrizen
\mathl{xE_n}{} mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatz
gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \left( x E_n-M \right)
}
{ =} { \det \left( B (xE_n - N) B^{-1} \right)
}
{ =} { \det \left( B \right) \det \left( xE_n - N \right) \det \left( B^{-1} \right)
}
{ =} { \det \left( xE_n - N \right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \chi_{ N }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $V$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass diese Fahne die einzige
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
ist.
}
{
Wir wählen eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$, was
nach dem Basisergänzungssatz
möglich ist. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung $\varphi$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ \defeq} { v_1 +v_2 + \cdots + v_{i-1} +v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist. Offensichtlich ist dazu die vorgegebene Fahne
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
Es sei nun eine beliebige $\varphi$-invariante Fahne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} {W_1
}
{ \subset} {W_2
}
{ \subset \ldots \subset} {W_{n-1}
}
{ \subset} { W_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
gegeben. Es ist zu zeigen, dass diese mit der vorgegebenen Fahne übereinstimmt. Dies beweisen wir durch Induktion über $k$, wobei der Induktionsanfang wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_0
}
{ = }{0
}
{ = }{W_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Es sei also als Induktionsvoraussetzung die Übereinstimmungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_1
}
{ = }{W_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_2
}
{ = }{W_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{$, \ldots ,$}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_k
}
{ = }{W_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schon bekannt. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_{k+1}
}
{ = }{W_{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Der Raum
\mathl{W_{k+1}}{} besitzt die Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_k ,w}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen der Invarianz von $W_{k+1}$ unter $\varphi$ ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(w)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k b_j v_j + c w
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( b_j +ca_j \right) } v_j + \sum_{j = k+1}^n c a_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{c \neq 0}{} wegen der Bijektivität} {} {}
und andererseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi(w)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{j = 1}^n a_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_j { \left( v_1 +v_2 + \cdots + v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{i = j}^n a_i \right) } v_j
}
}
{}
{}{.}
Koeffizientenvergleich für die Vektoren
\mathl{v_{k+1} , \ldots , v_n}{} liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = k+1}^{n} a_i
}
{ =} { ca_{k+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = k+2}^{n} a_i
}
{ =} { ca_{k+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{, \ldots ,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = n}^{n} a_i
}
{ =} { ca_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Indem man sukzessive diese Gleichungen von unten nach oben betrachtet, erhält man bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { a_n
}
{ =} { a_{n-1}
}
{ = \ldots =} { a_{k+1}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { a_n
}
{ =} { a_{n-1}
}
{ = \ldots =} { a_{k+2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist jedenfalls
\mathl{w \in V_{k+1}}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W_{k+1}
}
{ = }{V_{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^n}{} für alle
\mathl{n \in \N_+}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
die höheren Potenzen sind die Nullmatrix. Die Wirkungsweise von $M^2$ ist somit
\mathl{e_4 \mapsto e_2 \mapsto 0}{} und
\mathl{e_3 \mapsto e_1 \mapsto 0}{,} die jordansche Normalform ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die Wirkungsweise von $M^3$ ist
\mathl{e_4 \mapsto e_1 \mapsto 0}{} und
\mathl{e_2, e_3 \mapsto 0}{,} die jordansche Normalform ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Von allen höheren Potenzen ist die Nullmatrix die jordansche Normalform.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x+y-3z+5w
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}} { }
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-7\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 5\\3 \end{pmatrix}} { }
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\-7\\ 0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\-7\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\3\\ 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\3\\ 1\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\{ \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 5\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 5\\{ \frac{ 16 }{ 5 } } \end{pmatrix}} { }
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.
}