Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 4 4 1 8 1 6 4 3 3 4 7 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  2. Ein kommutativer Ring .
  3. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .
  4. Der -te Standardvektor im .
  5. Eine multilineare Abbildung

    wobei Vektorräume über einem Körper sind.

  6. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

    gilt.

  2. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  3. Man nennt die Matrix

    die transponierte Matrix zu .

  4. Der Vektor

    wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.

  5. Die Abbildung

    heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung

    -linear ist.

  6. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom minimalen Grades mit

    heißt das Minimalpolynom von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .
  2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
  3. Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Für Vektoren in sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    1. bilden eine Basis von .
    2. bilden ein Erzeugendensystem von .
    3. sind linear unabhängig.
  2. Es sei ein Körper und . Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

    mit , wobei die Standardvektoren sind, nämlich die

    Determinante.
  3. Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Es sei , , eine affine Basis von und , , eine Familie von Punkten in . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

    mit

    für alle .


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Lösung

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach

nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits

und andererseits


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise


Lösung

Der Induktionsanfang bei ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf

Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum .


Lösung

Sei . Jede linear unabhängige Familie in ist auch linear unabhängig in . Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in nur linear unabhängige Familien der Länge geben. Es sei derart, dass es in eine linear unabhängige Familie mit Vektoren gibt, aber nicht mit Vektoren. Sei eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in und daher wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine Basis von .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

zu .


Lösung

Die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit , die dritte Zeile ergibt sich aus der ersten Zeile durch Multiplikation mit . Somit ist der Rang maximal . Wegen der links oben ist der Rang genau .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Lösung

Sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Lemma 14.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) schon

und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Lösung

Die Determinante von

ist


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Permutation zu

Bestimme das Signum von auf möglichst viele unterschiedliche Arten.


Lösung

  1. Gemäß der Definition des Signums ist
  2. Wir bestimmen die Fehlstände der Permutation. Zu liegt kein Fehlstand vor. Dagegen liegt zu stets ein Fehlstand vor. Es gibt also insgesamt Fehlstände, und das Signum ist .
  3. Die Permutation kann man als Produkt der Transpositionen

    darstellen, da ja mit jeder Transposition um nach unten transportiert wird und jede Zahl durch die Transposition auf abgebildet wird, was von den Transpositionen weiter links nicht mehr verändert wird. Es liegt also eine Zerlegung in Transpositionen vor und das Signum ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Lösung

Zwei Seiten haben die Länge , zwei andere Seiten die Länge ; gegebenenfalls ist . Es gilt und .

Auflösen der ersten Gleichung nach ergibt . Einsetzen in die zweite Gleichung: . Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: .

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für , nämlich . Eine der beiden Lösungen ist dann , die andere ist . Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung .


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Sei .

  1. Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.
  2. Finde eine Darstellung der mit diesen beiden Polynomen.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und sei das Minimalpolynom von . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn nicht injektiv ist.


Lösung

Da das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom nach Fakt ***** die gleichen Nullstellen haben, und dies die Eigenwerte von sind, bedeutet die eine Eigenschaft, dass ein Eigenwert ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Eigenraum

nicht der Nullraum ist, was wiederum nach dem Injektivitätskriterium bedeutet, dass nicht injektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.


Lösung

Es seien und die beschreibenden Matrizen von bezüglich zweier Basen. Dann besteht zwischen ihnen die Beziehung

mit der invertierbaren Basiswechselmatrix . Es besteht die Beziehung

da die Streckungsmatrizen mit jeder Matrix vertauschbar sind. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatz gilt daher


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige -invariante Fahne ist.


Lösung

Wir wählen eine Basis von mit

für alle , was nach dem Basisergänzungssatz möglich ist. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung , die durch

festgelegt ist. Offensichtlich ist dazu die vorgegebene Fahne -invariant. Es sei nun eine beliebige -invariante Fahne

gegeben. Es ist zu zeigen, dass diese mit der vorgegebenen Fahne übereinstimmt. Dies beweisen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang wegen klar ist. Sei also als Induktionsvoraussetzung die Übereinstimmungen , schon bekannt. Es ist zu zeigen. Der Raum besitzt die Basis mit

und wegen der Invarianz von unter ist einerseits

(mit wegen der Bijektivität) und andererseits

Koeffizientenvergleich für die Vektoren liefert

Indem man sukzessive diese Gleichungen von unten nach oben betrachtet, erhält man bei direkt

und bei erhält man

Damit ist jedenfalls und somit .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen für alle .


Lösung

Es ist

und

die höheren Potenzen sind die Nullmatrix. Die Wirkungsweise von ist somit und , die jordansche Normalform ist also

Die Wirkungsweise von  ist  und , die jordansche Normalform ist also

Von allen höheren Potenzen ist die Nullmatrix die jordansche Normalform.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung


Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.