Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Summe} {}
von Untervektorräumen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n \subseteq V}{} in einem Vektorraum $V$.
}{\stichwort {Ähnliche} {}
Matrizen
\mathl{M,N \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Die \stichwort {duale Abbildung} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Ein \stichwort {Fehlstand} {} zu einer \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\maabbdisp {\pi} { { \{ 1 , \ldots , n \} } } { { \{ 1 , \ldots , n \} } } {.}
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} $d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
}{Die
Summe dieser Untervektorräume
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 + \cdots + U_n
}
{ =} { { \left\{ u_1 + \cdots + u_n \mid u _i \in U_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
}{Die Matrizen
\mathl{M,N}{} heißen
ähnlich,
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B N B^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , K \right) } = { W }^{ * } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } = { V }^{ * }
} {f} {f \circ \varphi
} {,}
heißt die duale Abbildung zu $\varphi$.
}{Ein Indexpaar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ <} {j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt ein Fehlstand zu $\pi$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi (i)
}
{ > }{ \pi (j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Eine
\definitionsverweis {quadratische Matrix}{}{} $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n \in \N$ gibt derart, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathdisp {M^n = \underbrace {M \circ \cdots \circ M}_{n\text{-mal} } =0} { }
ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.}{Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.}{Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Aus $a \cdot b =0$ mit
\mathl{a,b \in K}{} folgt $a=0$ oder $b=0$.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq V}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der Dimension
\mathkor {} {\dim_{ K } { \left( U_1 \right) } =n-k_1} {bzw.} {\dim_{ K } { \left( U_2 \right) } =n-k_2} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U_1 \cap U_2 \right) }
}
{ \geq} { n-k_1 -k_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_\varphi}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{
Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen
\mathl{A(n)}{} bewiesen, die von den natürlichen Zahlen
\mathl{n \in \N}{} abhängen. Man beweist zuerst die Aussage
\mathl{A(0)}{.} Ferner zeigt man, dass man für alle $n$ aus der Gültigkeit von $A(n)$ auf die Gültigkeit von $A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von $A(n)$ für alle
\mathl{n \in \N}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (2- { \mathrm i} )(1+ { \mathrm i} ) + (-1-3 { \mathrm i} )(1- { \mathrm i} ) - (2+5 { \mathrm i} )
}
{ =} { 2+2 { \mathrm i} - { \mathrm i} +1-1+ { \mathrm i} -3 { \mathrm i} -3-2-5 { \mathrm i}
}
{ =} { -3 -6 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} (1+ { \mathrm i} ) + (4-2 { \mathrm i} )(2+5 { \mathrm i} )
}
{ =} { { \mathrm i} -1 +8+20 { \mathrm i} -4 { \mathrm i} +10
}
{ =} { 17+ 17 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3-6 { \mathrm i} \\17+17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Vektoren. Zeige, dass
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind, wenn
\mathl{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3}{} linear unabhängig sind.
}
{
Es seien
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} linear unabhängig und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_1v_1 + b_2(v_1+v_2) + b_3 (v_1+v_2+v_3)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Darstellung der $0$. Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(b_1+b_2+b_3)v_1 + (b_2+b_3) v_2 + b_3v_3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_3, b_2+b_3, b_1+b_2+b_3
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_1,b_2,b_3
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
Es seien nun umgekehrt
\mathl{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3}{} linear unabhängig und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1v_1 +a_2 v_2+a_3v_3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Darstellung der $0$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { a_1v_1 +a_2 v_2+a_3v_3
}
{ =} { ( a_1-a_2) v_1 + (a_2-a_3) (v_1+v_2) + a_3 (v_1+v_2+v_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3, a_2-a_3, a_1-a_2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1,a_2,a_3
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1, U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
gleicher Dimension. Zeige, dass
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ein gemeinsames
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
besitzen.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die
\definitionsverweis {Kodimension}{}{}
von $U_1$
\zusatzklammer {die nach Voraussetzung mit der Kodimension von $U_2$ übereinstimmt} {} {}
in $V$. Wenn diese $0$ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} {U_2
}
{ =} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Es sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Behauptung klar. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \neq }{U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Aufgabe 6.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 \cup U_2
}
{ \neq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gibt es einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \notin }{ U_1 \cup U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzen
\mathkor {} {U_1'=U_1 \oplus Kw} {und} {U_2'=U_2 \oplus Kw} {}
eine kleinere gemeinsame Kodimension, sodass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es sei $W$ ein gemeinsames direktes Komplement von $U_1'$ und von $U_2'$. Dann ist
\mathl{W \oplus Kw}{} ein gemeinsames direktes Komplement von $U_1$ und von $U_2$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Urbildes}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \Q \begin{pmatrix} 25 \\11\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \Q^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\Q^4} {\Q^3} {
\begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
} {.}
}
{
Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
\, \, \, \, - y &
+5 z &
+6 w & = & 25s \\
3 x &
+5 y &
+2 z &
\, \, \, \, - w & = & 11s \\
2 x &
\, \, \, \, - y &
-2 z &
+3 w & = & s \, .
\end{matrix}} { }
Wir ersetzen die zweite Gleichung durch 3I-2II und die dritte durch I-III und erhalten das äquivalente System
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
\, \, \, \, - y &
+5 z &
+6 w & = & 25s \\
&
-13 y &
+11 z &
20 w & = & 53s \\
&
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+7 z &
+3 w & = & 24s \, .
\end{matrix}} { }
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus
der Dimensionsformel
folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von $T$ im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ - { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( 11z +20 w \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( - 11 \cdot { \frac{ 3 }{ 7 } } +20 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( { \frac{ 107 }{ 7 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 107 }{ 91 } }
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( y-5z-6w \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 107 }{ 91 } } + 5 \cdot { \frac{ 3 }{ 7 } } -6 \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 107 + 195 - 546 }{ 91 } }
}
{ = }{ - { \frac{ 122 }{ 91 } }
}
}
{}{}{.}
Wenn wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen, erhalten wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 24 }{ 7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( 11z -53s \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( 11 \cdot { \frac{ 24 }{ 7 } } -{ \frac{ 371 }{ 7 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 } } { \left( - { \frac{ 107 }{ 7 } } \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 107 }{ 91 } }
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( y-5z+25s \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( -{ \frac{ 107 }{ 91 } } + 5 \cdot { \frac{ 24 }{ 7 } } +25 \right) }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ -107 -1560 +2275 }{ 91 } }
}
{ = }{ { \frac{ 304 }{ 91 } }
}
}
{}{}{.}
Eine Basis des Urbildes ist daher gegeben durch die beiden Vektoren $\begin{pmatrix} -{ \frac{ 122 }{ 91 } } \\{ \frac{ 107 }{ 91 } }\\ -{ \frac{ 3 }{ 7 } }\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} { \frac{ 304 }{ 91 } } \\ - { \frac{ 107 }{ 91 } } \\ { \frac{ 24 }{ 7 } }\\0 \end{pmatrix}$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
}
{
Die linearen Standardabbildungen
\maabb {} {K^n} {V
} {} bzw.
\maabb {} {K^m} {W
} {}
zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\
& \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\
\!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\
& \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\
K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,
\!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf
Lemma 9.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi)
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } )
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Der Unterraum $U$ ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei
\mathl{u_1,u_2 , \ldots , u_m}{} eine Basis von $U$, die wir durch
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Es sei
\mathl{W=K^n}{.} Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {K^n
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(u_i) =0 \text{ für } i=1 , \ldots , m} { }
und
\mathdisp {\varphi(v_j) =e_j \text{ für } j=1 , \ldots , n} { }
festgelegt ist
\zusatzklammer {dabei sei $e_j$ der $j$-te Standardvektor des $K^n$} {} {,} was nach dem
Basisfestlegungssatz
möglich ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^n t_j v_j \right) }
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n t_j e_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist
\mathl{U \subseteq \operatorname{kern} \varphi}{.} Es sei
\mathdisp {v= \sum_{i=1}^m s_i u_i + \sum_{j=1}^n t_j v_j \in \operatorname{kern} \varphi} { . }
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {\varphi (v)
}
{ =} {\sum_{j=1}^n t_j e_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Standardbasis vorliegt, sind die
\mathl{t_j = 0}{} und daher ist
\mathl{v \in U}{.} Also ist
\mathl{U=\operatorname{kern} \varphi}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (5+3)}
{
a) Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {L_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbdisp {L_1 \times \cdots \times L_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( L_1 \times \cdots \times L_n \right)
}
{ =} { \det L_1 \cdots \det L_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Es seien
\mathkor {} {V} {und} {T} {}
endlichdimensionale $K$-Vektorräume und
\maabbdisp {L} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung. Es sei
\maabbeledisp {\varphi} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( T , V \right) } } {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( T , V \right) }
} { f} { L \circ f
} {,}
die induzierte Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ =} { { \left( \det L \right) }^{ \dim_{ K } { \left( T \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir schreiben die Produktabbildung als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times \cdots \times L_n
}
{ =} { (L_1 \times
\operatorname{Id}_{ V_2 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_n }) \circ (
\operatorname{Id}_{ V_1 } \times L_2 \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_n }) \circ \cdots \circ (
\operatorname{Id}_{ V_1 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_{n-1} } \times L_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathl{v_{i1} , \ldots , v_{i d_i}}{} Basen von $V_i$ und es sei $M_i$ die Matrix zu $L_i$ bezüglich der Basis von $V_i$. Dann wird
\mathdisp {\operatorname{Id}_{ V_1 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_{i-1} } \times L_i \times
\operatorname{Id}_{ V_{i+1} } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_n }} { }
bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} E_{1} & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & E_{i-1} & & & & \\ & & & M_i & & & \\
& & & & E_{i+1} & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & E_n\end{pmatrix}} { }
beschrieben, wobei
\mathl{E_j}{} die Einheitsmatrix der Länge
\mathl{d_i}{} bezeichnet. Hier steht also die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & M_i & & & \\
& & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{pmatrix}} { , }
und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich
\mathl{\det M_i}{.} Nach
dem Determinantenmultiplikationssatz
ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \left( L_1 \times \cdots \times L_n \right)
}
{ =} { \det \left( L_1 \times
\operatorname{Id}_{ V_2 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_n } \circ \cdots \circ
\operatorname{Id}_{ V_1 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_{n-1} } \times L_n \right)
}
{ =} { \det \left( L_1 \times
\operatorname{Id}_{ V_2 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_n } \right) \cdots \det \left(
\operatorname{Id}_{ V_1 } \times \cdots \times
\operatorname{Id}_{ V_{n-1} } \times L_n \right)
}
{ =} { \det M_1 \cdots \det M_n
}
{ =} { \det L_1 \cdots \det L_n
}
}
{}
{}{.}
b) Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( T \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ \cong} {K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Isomorphie. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( T , V \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K^n , V \right) }
}
{ \cong} { V \times \cdots \times V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $n$ Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung
\mathl{f \mapsto L \circ f}{} der Produktabbildung
\mathl{L \times \cdots \times L}{.} Die Behauptung folgt also aus Teil a).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Schreibe das Polynom
\mathdisp {X^4-1} { }
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb C}[X]$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-1
}
{ =} {(X^2-1)(X^2+1)
}
{ =} {(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der
\definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
ist.
}
{
Die lineare Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Die duale Abbildung wird dann nach
Lemma 15.10
durch die
\definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{}
\mathl{{ M^{ \text{tr} } }}{} beschrieben. Die Matrizen
\mathkor {} {x E_n - M} {und} {x E_n - { M^{ \text{tr} } }} {}
sind zueinander transponiert. Nach
Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
stimmen also ihre Determinanten überein. Das bedeutet, dass
\mathkor {} {M} {und} {{ M^{ \text{tr} } }} {}
das gleiche charakteristische Polynom haben. Da $a$ ein Eigenwert von $M$ ist, ist $a$ nach
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und daher auch ein Eigenwert der dualen Abbildung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+2+3)}
{
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n \times n$-Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}} { . }
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix.
}
{
a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei $M$ eine $n \times n$-Matrix mit dem charakteristischen Polynom
\mathl{\chi_{ M }}{.} Wenn man dann $M$ in $\chi_{ M }$ einsetzt, so ergibt sich
\mathdisp {\chi_{ M }\, (M)=0} { . }
b) Das charakteristische Polynom der Matrix $M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-2 & -1 \\ -3 & x+4 \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-2)(x+4) -3
}
{ =} { x^2+2x-11
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um darin $M$ einzusetzen berechnen wir zuerst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -6 & 19 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -6 & 19 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} -11 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7+4-11 & -2+2 \\ -6 +6 & 19-8-11 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Wir setzen die $2 \times 2$-Matrix als
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
an. Das charakteristische Polynom davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-a)(x-d) -bc
}
{ =} {x^2 -(a+d)x +ad-bc
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Quadrat von $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+cd & cb+d^2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Einsetzen ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{
}
{ \,} {\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+cd & cb+d^2 \end{pmatrix} - (a+d) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} +(ad-bc) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+cd & cb+d^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -(a+d)a & -(a+d)b \\ -(a+d)c & -(a+d)d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} a^2+bc -(a+d)a +ad-bc & ab+bd -(a+d)b \\ ca+cd -(a+d)c & cb+d^2 -(a+d)d+ad-bc \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{
Es sei der Zykel
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1}{} gegeben und sei $M$ die zugehörige
$n \times n$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
über einem Körper $K$.
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mathl{< n}{.} Erstelle eine Formel für
\mathl{(P(M))(e_1)}{.}
b) Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$.
c) Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
$\varphi$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_2)
}
{ = }{ v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_3)
}
{ = }{ v_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt und dass das Minimalpolynom von $\varphi$ nicht
\mathl{X^3-1}{} ist.
}
{
a) Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { a_0+a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_{n-1}X^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M^{i} (e_1)
}
{ = }{ e_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P(M))(e_1)
}
{ =} { { \left( a_0+a_1M+a_2M^2 + \cdots + a_{n-1}M^{n-1} \right) } (e_1)
}
{ =} { a_0 e_1+a_1M(e_1)+a_2M^2 (e_1) + \cdots + a_{n-1}M^{n-1} (e_1)
}
{ =} { a_0 e_1+a_1 e_2+a_2 e_3 + \cdots + a_{n-1} e_n
}
{ =} { \sum_{i = 0}^{n-1} a_i e_{i+1}
}
}
{}
{}{.}
b) Das Minimalpolynom ist
\mathl{X^n -1}{.} Da der Zykel die Ordnung $n$ besitzt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher annulliert
\mathl{X^n-1}{} die Matrix. Für ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ vom Grad $< n$ ist nach Teil a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(P(M))(e_1)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(M)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{X^n-1}{} das annullierende Polynom minimalen Grades.
c) Wir betrachten im $\R^2$ eine Drehung $\varphi$ um $120$ Grad. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ = }{ e_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_2
}
{ = }{ \varphi(e_1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_3
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die dritte Potenz von $\varphi$ ist die Identität, daher ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_3)
}
{ =} {e_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da sich alles in der Dimension $2$ abspielt, besitzt das charakteristische Polynom den Grad $2$ und annulliert diesen Endomorphismus.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\5\\ 4 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(1,0)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{
Der Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -2 \\5\\ 4 \end{pmatrix}$ gehört jeweils zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{} \definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathkor {} {\left( 5 , \, 2 , \, 0 \right)} {und} {\left( 0 , \, 4 , \, -5 \right)} {.}
Daher machen wir den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5x+2y+a \\4y-5z+b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für den Aufpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix}}{} ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi \begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 34+a \\-7+b \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-33
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5x+2y-33 \\4y-5z+7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine affine Abbildung mit Urbild über
\mathl{(1,0)}{} wie gewünscht.
}