Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 2 3 5 5 4 7 8 1 5 6 6 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
  3. Ähnliche Matrizen .
  4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und .

  5. Ein Fehlstand zu einer Permutation
  6. Eine nilpotente -Matrix über .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Summe dieser Untervektorräume ist durch

    gegeben.

  3. Die Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.
  4. Die Abbildung

    heißt die duale Abbildung zu .

  5. Ein Indexpaar

    heißt ein Fehlstand zu , wenn ist.

  6. Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl gibt derart, dass das -te Matrixprodukt
    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
  3. Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.


Lösung

  1. Aus mit folgt oder .
  2. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension und es seien Untervektorräume der Dimension bzw. . Dann ist
  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

    1. ist trigonalisierbar.
    2. Es gibt eine -invariante Fahne.
    3. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
    4. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen bewiesen, die von den natürlichen Zahlen abhängen. Man beweist zuerst die Aussage . Ferner zeigt man, dass man für alle aus der Gültigkeit von auf die Gültigkeit von schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von für alle .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Lösung

Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt

Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.


Lösung

Seien linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dies bedeutet

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

also

folgt.

Seien nun umgekehrt linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dann ist

Daraus ergibt sich

und daraus


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Kodimension von (die nach Voraussetzung mit der Kodimension von übereinstimmt) in . Wenn diese ist, so ist

und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei ist die Behauptung klar. Sei also . Nach Aufgabe 6.6 ist

und daher gibt es einen Vektor mit . Dann besitzen und eine kleinere gemeinsame Kodimension, so dass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Sei ein gemeinsames direktes Komplement von und von . Dann ist ein gemeinsames direktes Komplement von und von .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

zur linearen Abbildung


Lösung

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem

Wir ersetzen die zweite Gleichung durch 3I-2II und die dritte durch I-III und erhalten das äquivalente System

Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst und und erhalten ,

und .

Wenn wir und setzen, erhalten wir ,

und .

Eine Basis des Urbildes ist daher gegeben durch die beiden Vektoren und .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Lösung

Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die Kommutativität auf Fakt ***** und Fakt ***** beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Lösung

Der Unterraum ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei eine Basis von , die wir durch zu einer Basis von ergänzen können. Es sei . Wir betrachten die lineare Abbildung

die durch

und

festgelegt ist (dabei sei der -te Standardvektor des ), was nach dem Basisfestlegungssatz möglich ist. Wegen

ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist . Es sei

Dann ist

Da die Standardbasis vorliegt, sind die und daher ist . Also ist .


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

a) Es seien endlichdimensionale -Vektorräume und

lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung

die Gleichheit

gilt.

b) Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

eine lineare Abbildung. Es sei

die induzierte Abbildung. Zeige


Lösung

Wir schreiben die Produktabbildung als

Es seien Basen von und es sei die Matrix zu bezüglich der Basis von . Dann wird

bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix

beschrieben, wobei die Einheitsmatrix der Länge bezeichnet. Hier steht also die Matrix

und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich . Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist somit

b) Es sei

und

eine Isomorphie. Dann ist

mit Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung der Produktabbildung . Die Behauptung folgt also aus Teil a).


Aufgabe (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

ist.


Lösung

Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Die duale Abbildung wird dann nach Lemma 15.10 durch die transponierte Matrix beschrieben. Die Matrizen und sind zueinander transponiert. Nach Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) stimmen also ihre Determinanten überein. Das bedeutet, dass und das gleiche charakteristische Polynom haben. Da ein Eigenwert von ist, ist nach Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und daher auch ein Eigenwert der dualen Abbildung.


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.


Lösung

a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei eine -Matrix mit dem charakteristischen Polynom . Wenn man dann in einsetzt, so ergibt sich

b) Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Um darin einzusetzen berechnen wir zuerst

Daher ist

c) Wir setzen die -Matrix als

an. Das charakteristische Polynom davon ist

Das Quadrat von ist

Durch Einsetzen ergibt sich


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige -Permutationsmatrix über einem Körper .

a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .

b) Bestimme das Minimalpolynom von .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.


Lösung

a) Sei

Wegen für ist dann

b) Das Minimalpolynom ist . Da der Zykel die Ordnung besitzt, ist

und daher annulliert die Matrix. Für ein von verschiedenes Polynom vom Grad ist nach Teil a) , also und somit ist das annullierende Polynom minimalen Grades.

c) Wir betrachten im eine Drehung um Grad. Es sei und und . Die dritte Potenz von ist die Identität, daher ist insbesondere

Da sich alles in der Dimension abspielt, besitzt das charakteristische Polynom den Grad und annulliert diesen Endomorphismus.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Lösung

Der Richtungsvektor gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen und . Daher machen wir den Ansatz

Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung

also ist und . Somit ist

eine affine Abbildung mit Urbild über wie gewünscht.