Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Abbildung
von einer Menge
in eine Menge
.
- Die
Summe
von Untervektorräumen
in einem Vektorraum
.
- Ähnliche
Matrizen
.
- Die duale Abbildung zu einer
linearen Abbildung
-
zwischen
-
Vektorräumen
und
.
- Ein Fehlstand zu einer
Permutation
-
- Eine nilpotente
-
Matrix
über
.
Lösung
- Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird.
- Die
Summe dieser Untervektorräume
ist durch
-

gegeben.
- Die Matrizen
heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
- Die
Abbildung
-
heißt die duale Abbildung zu
.
- Ein Indexpaar
-

heißt ein Fehlstand zu
, wenn
ist.
- Eine
quadratische Matrix
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl
gibt derart, dass das
-te
Matrixprodukt
-
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper
.
- Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
- Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.
Lösung
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Lösung
Berechne über den
komplexen Zahlen
das
Matrizenprodukt
-
Lösung
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
-

Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
-
Es sei
ein
-
Vektorraum
und es seien
Vektoren. Zeige, dass
genau dann
linear unabhängig
sind, wenn
linear unabhängig sind.
Lösung
Es seien
linear unabhängig und sei
-

eine Darstellung der
. Dies bedeutet
-

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit
-

also
-

folgt.
Es seien nun umgekehrt
linear unabhängig und sei
-

eine Darstellung der
. Dann ist
-

Daraus ergibt sich
-

und daraus
-

Lösung
Bestimme eine
Basis
des
Urbildes
von
-

zur
linearen Abbildung
-
Lösung
Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Wir ersetzen die zweite Gleichung durch 3I-2II und die dritte durch I-III und erhalten das äquivalente System
-
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus
der Dimensionsformel
folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von
im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst
und
und erhalten
,
-

und
.
Wenn wir
und
setzen, erhalten wir
,
-

und
.
Eine Basis des Urbildes ist daher gegeben durch die beiden Vektoren
und
.
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
Lösung
Die linearen Standardabbildungen
bzw.
zu den Basen seien mit
bezeichnet. Wir betrachten das
kommutative Diagramm
-
wobei die Kommutativität auf
Lemma 9.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt

Lösung
Der Unterraum
ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei
eine Basis von
, die wir durch
zu einer Basis von
ergänzen können. Es sei
. Wir betrachten die lineare Abbildung
-
die durch
-
und
-
festgelegt ist
(dabei sei
der
-te Standardvektor des
), was nach dem
Basisfestlegungssatz
möglich ist. Wegen
-

ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist
. Es sei
-
Dann ist
-

Da die Standardbasis vorliegt, sind die
und daher ist
. Also ist
.
a) Es seien
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass für die
Produktabbildung
-
die Gleichheit
-

gilt.
b) Es seien
und
endlichdimensionale
-Vektorräume und
-
eine lineare Abbildung. Es sei
-
die induzierte Abbildung. Zeige
-

Lösung
Wir schreiben die Produktabbildung als
-

Es seien
Basen von
und es sei
die Matrix zu
bezüglich der Basis von
. Dann wird
-
bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix
-
beschrieben, wobei
die Einheitsmatrix der Länge
bezeichnet. Hier steht also die Matrix
-
und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich
. Nach
dem Determinantenmultiplikationssatz
ist somit

b) Es sei
-

und
-

eine Isomorphie. Dann ist
-

mit
Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung
der Produktabbildung
. Die Behauptung folgt also aus Teil a).
Schreibe das Polynom
-
als Produkt von Linearfaktoren in
.
Lösung
Es ist
-

Lösung
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine
-Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
-
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige
-Matrix.
Lösung
Lösung
Beschreibe die
affine Gerade
-

als
Urbild
über
einer
affinen Abbildung
.
Lösung
Der Richtungsvektor
gehört jeweils zum
Kern
der beiden
linear unabhängigen Linearformen
und
.
Daher machen wir den Ansatz
-

Für den Aufpunkt
ergibt sich die Bedingung
-

also ist
und
.
Somit ist
-

eine affine Abbildung mit Urbild über
wie gewünscht.