Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Teiltest/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Punkte 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 2 4 2 1 3 1 3 4 8 5 65



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine surjektive Abbildung
  3. Ein Körper.
  4. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  3. Das Basisaustauschlemma.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung mit dem Graphen . Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion zwischen und dem Graphen induziert. Was ist die Verknüpfung von mit der zweiten Projektion


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?