Kurs:Lineare Algebra/Teil I/44/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	1	3	2	4	4	1	3	3	4	8	3	2	6	8	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
4. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen ${}T$ und ${}P$ aus ${}K[X]$.
6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert ${}\lambda$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper ${}K$.
2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Der Satz über die algebraische Struktur des Signums.

Aufgabe (1 Punkt)

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von ${}1200$ Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat kein Geld und hat mit Geld auch nichts am Hut, er ist jetzt gerade ${}18$ geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$, ${}x\neq 0$ ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu ${}x$ die Bezeichnung ${}x^{-1}$ zu verwenden.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Menge ${}U$ der ${}2\times 2$- Matrizen der Form

${\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}$

mit  ${}a,b\in \mathbb {R}$. 

a) Zeige, dass ${}U$ ein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$-Matrizen ist.

b) Bestimme eine Basis von ${}U$.

c) Bestimme die Dimension von ${}U$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über den Basiswechsel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}-1\\-1\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}3\\-4\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

$\mathbb {Q} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

aber injektiv ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

die jeden Untervektorraum auf sich selbst abbildet, die aber nicht linear ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&12&0\\3&0&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ Vektorräume über dem Körper ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$V\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,(v,\varphi )\longmapsto \varphi (v),$

bilinear ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}z&z+3&0\\1&2&3\\z&-z&4\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Determinante alternierend ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Betrachte die Abbildungen, bei der ein Polynom auf seine entsprechende Polynomfunktion abgebildet wird. Geben Sie einen Körper an, sodass die Abbildung injektiv ist und einen, für den sie es nicht ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=8X^{3}+X-1$ und ${}T=2X^{2}+5$ durch.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}7&6&-4\\3&-3&5\\0&0&2\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Bestimme die Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms von ${}M$.

c) Bestimme die Eigenräume zu ${}M$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.