Kurs:Lineare Algebra/Teil I/44/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	0	0	8	0	2	3	0	8	0	4	0	8	0	0	3	0	0	43

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
4. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen ${}T$ und ${}P$ aus ${}K[X]$.
6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert ${}\lambda$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper ${}K$.
2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Der Satz über die algebraische Struktur des Signums.

Aufgabe (1 Punkt)

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über den Basiswechsel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&12&0\\3&0&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Determinante alternierend ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Betrachte die Abbildungen, bei der ein Polynom auf seine entsprechende Polynomfunktion abgebildet wird. Geben Sie einen Körper an, sodass die Abbildung injektiv ist und einen, für den sie es nicht ist. Und beweisen Sie dies.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)